Lochkamera und RT

Dieser Text nimmt Stellung zu Dietmars Arbeit über das Lochkamera-Paradoxon, in welcher er hier zeigen will, dass das Paradoxon mit der Lorentztransformation widerspruchsfrei gelöst werden kann. Dietmars Text wird unverändert wieder gegeben, meine Kommentare füge ich mit dieser großen, roten Schrift ein. Ich werde demonstrieren, dass Dietmar das Paradoxon keinesfalls widerlegen konnte!
Doch nun zu Dietmars Originaltext:

Es seien zwei Bezugssysteme I und I' gegeben. In I ruht ein Objekt, auf das sich eine in I' ruhende Lochkamera mit v=0,5 c in positiver x-Richtung zubewegt. Vom Objekt soll nun ein geneigteri Lichtstrahl zur Kamera ausgesandt werden. Es stellt sich nun die Frage: Kommt im Rahmen der SRT für alle IS dasselbe Bild in der Lochkamera zustande? H. Maurer vertritt hier die Meinung, dass hier (ein oder mehrere) Widersprüche auftreten würden - eine Annahme, die hier nun überprüft werden soll, wobei von mir allerdings keine Paradoxien aufgefunden werden konnten.

c=299792,458 km/s; ;
Berechnungen wurden mit OpenOffice Calc 2 durchgeführt.

Das Objekt ist hier nicht näher definiert. Ich denke hier z.B. an ein aus mehreren Häusern bestehendes Dorf, welches mit einem Fluggerät überflogen wird, in welchem sich die Kamera befindet. Nach dem Relativitätsprinzip spielt es keine Rolle, ob sich das Flugzeug oder das Dorf bewegt. Aus beiden Bezugssystemen muss der Vorgang übereinstimmend beschreibbar sein - und vor allem darf sich auf dem Film in der Kamera nichts ändern. Mal sehen ... (Es ist klar, dass Flugzeuge sich nicht mit annähernd Lichtgeschwindigkeit bewegen, aber auch Gedankenexperimente müssen den Rahmen der Logik einhalten.)

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I: Objektsicht (I):

Hier wird die Entfernung zur bewegten Lochkamera zum Zeitpunkt der Öffnung der Lochblende mit L=299792,458 km, deren Länge mit DK=200000 km und deren Höhe mit HK=200000 km gemessen. Die Koordinaten, an welchen sich die Lochblende zum Zeitpunkt ihre Öffnung befindet, bestimmen wir mit xa2=0 km, ya2=0 km, ta2=0 km. Die Höhe des Objekts setzen wir mit 200000 km fest, die Entfernung zur Lochblende beträgt daher HO=100000 km.

Emissionszeitpunkt:

Dieses Photon wird vom oberen Rand des Objekts bei den Koordinaten xa1=299792,458 km und ya1=100000 km emittiert. Mit Pythagoras ergibt sich eine Diagonale bis zur Lochblende von DL=316030,881202584 km. Emissionszeitpunkt war daher ta1= ta2-DL/c=-1,05416554943015 s. Als Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung ergibt sich u=L/ta1=-284388,403853702 km/s und in y-Richtung w=HO/ta1=-94861,7606163068 km/s.

Auftreffpunkt auf der Bildfläche:

Dem Strahl kommt nun die Bildfläche mit 0,5 c entgegen. Die Zeitspanne vom Eintritt des Photons in die Kamera bis zum Auftreffen auf der Bildfläche bestimmen wir mit ta3=DK/(u+v)=0,4605274625671 s. Als Auftreffpunkte auf der Bildfläche ergibt sich somit xa3=xa2+ta3*u=-130968,670010253 km und ya3=ya2-ta3*w=43686,445911275 km.

Kamera und Objekt haben riesenhafte Dimensionen. Dietmar berechnet den Weg eines vom oberen Rand des 200000 km hohen Objektes emittierten Photons bis zum Film in der Kamera. Die angenommene Situation ist die üblicherweise reale, wir befinden uns im Bezugssystem des Objekts, in welchem sich die Kamera gegen das Objekt bewegt. Obige Grafik zeigt den Weg, den das Photon vom Rand des Objektes durch die Blende bis auf den Film zurückzulegen hat. Nach Transformation in das Bezugssystem der Kamera (in welchem sich das Objekt bewegt!) muss der Auftreffpunkt am Film derselbe sein. Dietmar zeigt das im nächsten Abschnitt:

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II: Kamerasicht:

Die Werte in diesem System berechnen wir mit den Lorentz-Transformationen:

Emission des Strahls: = 528631,026989186 km = -1,79459579665748 s

Strahl erreicht die Bildfläche: = -230940,10767585 km = 0,78399512203279 s

Konstanz von c und Bestimmung der y-Koordinaten:

Damit der Strahl tatsächlich auf die selbe Position der Bildfläche landet, muss sichergestellt werden, dass in allen IS die selben y-Koordinaten getroffen werden. Mit dem rel. Additionstheorem erhalten wir die Geschwindigkeitskomponenten in diesem System mit:

= -294568,296645845 km/s; = -55722,8542417491 km/s.

Um die Konstanz von c zu überprüfen, rechnen wir √(u'²+w'²)= 299792,458 km/s. C is konstant. Kommt der Strahl aber auch rechtzeitig bei ta2'=0 zur Lochblende? Wir errechnen eine Ankunftszeit von ta2'=ta1'+xa1'/u'= 0 s. Es kommt also rechtzeitig bei der Lochblende an. Und y-Koordinate erhalten wir mit ya2'=ya1'+ta1'*w'= 0 km. Auch die y-Koordinate ist korrekt.

Für die Bildfläche gilt das Gleiche: Wir errechnen eine Ankunftszeit von ta3'=ta2'+xa3'/u'=0,78399512203279 s. Dies entspricht dem aus den LT ermittelten Wert. Und die Position auf der Bildfläche erhalten wir mit ya3'=ya2'+ta3'*w'=-43686,445911275 km. Auch die y-Koordinate ist korrekt.

Und um die Ruhlänge der Kamera zu bestimmen, rechnen wir DK'=DK/√(1-v²/c²)=-230940,10767585 km. Stimmt das mit den Werten aus den Lorentz-Transformationen überein? Wir rechnen also xa3'-xa2'= -230940,10767585 km - aus den LT ergibt sich dieser Zusammenhang tatsächlich.

Wir legen beide Bilder am Ortnullpunkt übereinander:

Nachdem Dietmar nun den Weg des Photons im Bezugssystem der Kamera (die nun als ruhend definiert ist) nachverfolgt hat, stellt er fest, dass auch hier das Photon haargenau an derselben Stelle des Films auftrifft - wie dies aus Sicht des Objektes der Fall war. Dietmar stellt folglich zufrieden fest:

Fazit: In beiden Bezugssystemen kommt des selbe Photon am selben Ort auf der Bildfläche an.

Streckenverhältnisse

Damit auch tatsächlich das Gleiche Bild herauskommt, müssen die Streckenverhältnisse der Strahlen von und nach der Lochblende übereinstimmen.
Im Objektsystem beträgt die Diagonale Objekt-Lochblende 316030,881202584 km. Die Diagonale Lochblende-Bildfläche beträgt 138062,659979494 km. Das ergibt ein Verhältnis von 2,28903949300646:1.
Im Kamerasystem beträgt die Diagonale Objekt-Lochblende 538006,284996413 km. Die Diagonale Lochblende-Bildfläche beträgt 235035,82469422 km. Das ergibt ebenfalls ein Verhältnis von 2,28903949300646:1.

Auch hier ist eine Übereinstimmung festzustellen:

Auch die Überprüfung der Streckenverhältnisse zeigt, dass sich an diesen Verhältnissen auch nach Anwendung der Lorentztransformation nichts ändert. Das ist auch nicht zu erwarten, da alle Strecken sich nach dem gleichen Lorentzfaktor transformieren.

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III: Symmetrie der Längenkontraktion

Um die Symmetrie der Längenkontraktion zu überprüfen, müssen wir nun a) zumindest zwei zusätzliche Objekte hintereinander anordnen (O2, O3). b) Danach muss sichergestellt werden, dass alle Strahlen, die von den weiter entfernten Objekten stammen, auch tatsächlich an den weiter vorne postierten (und den Strahlen davonlaufenden!) Objekten vorbeikommen. Wobei b) könnten wir uns eigentlich sparen, denn es ist bekannt, dass die y-Koordinaten in den LT nicht transformiert werden - somit versteht es sich von selbst, dass die Strahlen in allen IS an den vorgelagerten Objekten vorbeikommen.

Objektsystem

Wir geben nun unserem oben berechneten Objekt die Ziffer 1. Um es interessanter zu machen, postieren wir in jeweils 50000 km Entfernung die Objekte 2, 3 und setzen die Höhen so fest, dass die Strahlen so knapp wie möglich an den vorgelagerten Objekten vorbeikommen. Es ergibt sich somit die Ruhlänge O1-O3 von 100000 km.

Nun ordnet Dietmar hinter dem Objekt zwei zusätzliche Objekte an, um damit auf den von mir behaupteten paradoxen Fall einzugehen, dass aufgrund des Perspektivenwechsels Objektteile je nach Bezugssystem sichtbar oder unsichtbar werden. Aber er weicht von meiner Schilderung ab und setzt die Objekthöhen von vornherein so fest, dass die Strahlen "so knapp wie möglich" am jeweils vorgelagerten Objekt vorbeikommen. Wie wir gleich sehen werden, nimmt er vorsätzlich die Höhen der folgenden Objekte so an, dass sie mit der Entfernung in der Höhe zunehmen. Es ist daher von vornherein nicht zu erwarten, dass hier irgendwelche Oberkanten-Photonen von den Oberkanten vorderer Objekte blockiert werden könnten!

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O2 hat eine Entfernung zur Lochblende zum Zeitpunkt deren Öffnung von 349792,458 km, die Höhe setzen wir mit 233357 km fest. Da der Ort, an dem die Lochblende geöffnet wird bereits feststeht, ergibt sich mit dem Pythagoras eine Diagonale von 368739,252095477 km, welche vom Strahl in 1,22998174989271 s zurückgelegt werden. Die Koordinaten sind also:
xb1= 349792,458 km; tb1= -1,22998174989271 s; yb1= 116678,5 km.

Wann kommt der Strahl an O1 vorbei? Dazu benötigen wir die Geschwindigkeitskomponenten. Die sind u=-284388,3318029 km/s und w=-94861,9766189032 km/s. Da der Abstand O2-O1 50000 km betrug, erhalten wir eine Ankunftszeit von tb2=tb1+50000/u= -1,05416581650676 s. Die y-Koordinate ergibt sich mit yb2=yb1+w*tb2=100000,253037911 km. D.h. der Strahl kommt ca. in 253 m Entfernung an O1 vorbei. Die Koordinaten sind also:
xb2= 299792,458 km; tb2= -1,054165816506761 s; yb2= 100000,253037911 km.

Das erste Objekt hat eine Höhe von 200000 km, das nächste Objekt (O2) setzt Dietmar mit 233357 km fest. Man muss nun nicht viel herumrechnen, um zu wissen, dass ein Photon von der Oberkante des höheren Objekets am vorderen Objekt immer vorbeikommen wird.

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O3 ist weitere 50000 km entfernt hat einen Abstand zur Lochblende zum Zeitpunkt deren Öffnung von 399792,458 km, die Höhe setzen wir mit 266714 km fest. Da der Ort, an dem die Lochblende geöffnet wird bereits feststeht, ergibt sich mit dem Pythagoras eine Diagonale von 421447,62298853 km, welche vom Strahl in 1,40579795035581 s zurückgelegt werden. Die Koordinaten sind also:
xc1= 399792,458 km; tc1= -1,40579795035581 s; yc1= 133357 km.

Wann und wo kommt der Strahl an O2 vorbei? Dazu benötigen wir die Geschwindigkeitskomponenten. Die sind u=-284388,2777741 km/s und w=-94862,13859271 km/s.
Da der Abstand O2-O1 50000 km betrug, erhalten wir eine Laufzeit von 50000/u= 0,1758159668 s. Das ergibt eine y-Koordinate von yc2=yc1-w*0,175815966787924=116678,7213918 km. D.h. der Strahl kommt ca. in 221 m Entfernung an O2 vorbei.

Und wann kommt der Strahl an O1 vorbei? Da der Abstand O3-O1 100000 km betrug, erhalten wir eine Laufzeit von 100000/u= 0,351631933576 s. Das ergibt eine y-Koordinate von yc3=yc1-w*0,351631933576=100000,4427835 km. D.h. der Strahl kommt ca. in 443 m Entfernung an O2 vorbei.

Auch das nächste Objekt (O3) ist höher als das vordere, nämlich 266714 km. Selbstverständlich wird ein Photon von der Oberkante immer an den davorstehenden, niedrigeren Objekten vorbeikommen! Dietmar hat die Fragestellung des Paradoxons in meinem Aufsatz falsch interpretiert!

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a) Kamerasystem: Symmetrie der Längenkontraktion:

Dafür bestimmen wir die Koordinaten von O1', O2', O3' durch Anwendung die Lorentz-Transformation:

Position von O1' = Startposition des O1'-Strahles:
xa1'=528631,026989186 km; ta1'= -1,79459579665748 s;

Position von O2' = Startposition des O2'-Strahles:
xb1'=616797,246031707 km; tb1'= -2,09390251806472 s;

Position von O3' = Startposition des O3'-Strahles:
xc1'=704963,46507432 km; tc1'= -2,39320923947258 s;

Aber um die tatsächliche Länge im Kamerasystem zu ermitteln, brauchen wir die gleichzeitigen Positionen der Objekte. Wir errechnen also, wo die sich aus Kamerasicht mit 0,5c nähernden Objekte zum Zeitpunkt t= -1s waren.
O1' legt in 0,79459579665748 s genau 119106,913498207 km zurück. Es befindet sich also bei Position x1'=409524,113490979 km.
O2' legt in 1,09390251806472 s genau 163971,862351506 km zurück. Es befindet sich also bei Position x2'=452825,383680201 km.
O3' legt in 1,39320923947258 s genau 208836,811204898 km zurück. Es befindet sich also bei Position x2'=496126,653869422 km.
Zur Bestimmung der Länge brauchen wir eigentlich nur die Endpunkte O1' und O3'. Es ergibt sich aus O3'-O1' eine Länge von 86602,54037844 km. Ist das Korrekt? Wir hatten im Objektsystem eine Ruhlänge O1-O3 von 100000 km. Wir rechnen 100000*γ=86602,54037844. Die Ergebnisse stimmen tatsächlich überein.

Das heißt nichts anderes, dass im Objektsystem die bewegte Kamera kontrahiert ist und der Objektabstand O1-O3 der Ruhlänge entspricht. Und dass im Kamerasystem wiederum der bewegte Objektabstand O1'-O3' kontrahiert ist und die Kamera ihre Ruhlänge besitzt. Das Relativitätsprinzip ist erfüllt.

Hier stellt Dietmar mit der Lorentztransformation fest, dass aus Sicht der ruhend definierten Kamera der Abstand der Objekte zueinander kontrahiert ist. Das ändert natürlich sowieso nichts daran, dass die Höhen unverändert bleiben und die Photonen nach wie vor an den Oberkanten vorbei kommen! Das Paradoxon ergibt sich aus einer ganz anderen Sichtweise - wie ich weiter unten zeigen werde.

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b) Kamerasystem: Kommen die Strahlen vorbei?

Der O2-Strahl: Zuerst bestimmen wir die Geschwindigkeitskomponenten des Strahles in diesem IS. Gemäß Additionstheorem erhalten wir im Kamerasystem die Werte u'=-294568,271784581 km/s und w'=-55722,985665942 km/s. Kommt der Strahl O2 an O1 vorbei? Da die y-Koordinaten nicht transformiert werden, muss hier der selbe Abstand herauskommen wie im Objektsystem: 253 m.
Die kontrahierte Länge O1'-O2' beträgt 43301,2701892219 km. Wie lange benötigt der Strahl, um das sich entfernende Objekt zu erreichen? Wir errechnen das mit t1=(O2'-O1')/(u'-v)=0,299306413013731 s, dabei legt er 89729,8052525495 km in x-Richtung und 16678,2469620886 km in y-Richtung zurück und kommt somit bei 100000,253037911 km an. Die Position von O1 war wie gehabt ya1=100000 km. Also tatsächlich wieder ein Abstand von 253 m. Der Strahl kommt hier im gleichen Abstand an O1' vorbei wie im Objektsystem.

Der O3-Strahl: Zuerst bestimmen wir die Geschwindigkeitskomponenten des Strahles in diesem IS. Gemäß Additionstheorem erhalten wir im Kamerasystem die Werte u'=-294568,25314184 km/s und w'=-55723,0842169843 km/s. Kommt der Strahl O3' an O2 vorbei? Da die y-Koordinaten nicht transformiert werden, muss hier der selbe Abstand herauskommen wie im Objektsystem: 221 m.
Die kontrahierte Länge O2'-O3' beträgt ebenfalls 43301,2701892219 km. Wie lange benötigt der Strahl, um das sich entfernende Objekt zu erreichen? Wir errechnen das mit t1=(O3'-O2')/(u'-v)=0,299306451582984 s, dabei legt er 89729,8168153208 km in x-Richtung und 16678,2786082454 km in y-Richtung zurück und kommt somit bei 116678,721391755 km an. Also tatsächlich wieder 221 m. Der Strahl kommt hier im gleichen Abstand an O2' vorbei wie im Objektsystem.
Sehen wir auch noch schnell, wie der Strahl an O1 vorbeikommt: Die kontrahierte Länge O1'-O3' beträgt 86602,5403784439 km. Wie lange benötigt der Strahl, um diese Entfernung in x-Richtung zu überbrücken? Wir errechnen das mit t1=(O3'-O1')/(u'-v)=0,598612903165968 s. In y-Richtung legt er 33356,5572164907 km zurück und kommt bei 100000,442783509 km an. Also tatsächlich wieder 442 m. Der Strahl kommt hier im gleichen Abstand an O1' vorbei wie im Objektsystem.

Also auch hier war kein Paradoxon vorzufinden.

Natürlich nicht! Die Objekte werden in Dietmars Beispiel in Richtung zur Kamera ja kleiner. Wieso sollten sie Photonen von den obersten Kanten nicht vorbei lassen? Ich werde neben die Zeichnung Dietmars eine andere Abbildung stellen, in welcher eigentlich besser erkennbar sein sollte, worum es wirklich geht.

Bei Objekten, die nicht höher als die Höhe der Lochblende sind, sind Objekt-Bereiche aus der Sicht der bewegten Kamera durch davorstehende Objekte blockiert. Aus der Sicht der ruhenden Kamera sind die Objekte bewegt, hier laufen die vorderen Objekte den hinteren davon und geben dadurch die im anderen BS blockierten Photonen frei. Das hatte ich versucht, in meinem Aufsatz mit folgendem Bild zu zeigen:

(1 - 3) : Das Licht legt den Weg zwischen den Objekten und der Kamera laut SRT ja mit einer konstanten und endlichen Geschwindigkeit zurück. Wird die Kamera ausgelöst, dann registriert sie das Licht, das zu diesem Zeitpunkt gerade an der Lochblende ankommt. Da verschiedene Objektpunkte verschieden weit von der Kamera entfernt sind, war das Licht je nach Ursprungsort verschieden lange unterwegs - d.h. das nun hier gleichzeitig eintreffende Licht ist je nach Laufzeit innerhalb eines gewissen Zeitraums nach und nach emittiert worden. Während dieses Zeitraums bewegte sich aber das Objekt ständig weiter. Das Licht, das gleichzeitig in die Kamera eintritt, stammt deshalb von Punkten im Raum, die sich über mehr als die eigentliche Objektlänge erstrecken; dessen Länge wird dadurch verlängert und gleichzeitig wird damit der Verkürzungseffekt der Lorentzkontraktion vermindert. Dieser Lichtlaufzeiteffekt kann die Längenkontraktion bei sehr hoher Geschwindigkeit sogar überwiegen, vor allem führt er dazu, dass Objektteile, die bei unbewegter Anordnung hinter anderen Objekten verborgen sind, im Bild deshalb sichtbar werden, weil die normalerweise im Weg stehenden Teile vor den Lichtstrahlen davonlaufen und den Blick auf ansonsten unsichtbare Bereiche freigeben. Dieser Laufzeiteffekt entfällt selbstverständlich bei der bewegten Kamera völlig, die Objekte weichen hier den Lichtstrahlen nicht aus, sondern absorbieren diese Informationen, die - da sie gar nicht freigesetzt werden - auch durch die schönste Aberration nicht mehr in die Kamera gelangen können.(4)

Des Pudels Kern ist, dass aus der Sicht der ruhend definierten Kamera die längserstreckte Ansicht des bewegten Objektes die Lorentz-Kontraktion übersteigt, also das Objekt zusätzlich verlängert erscheint:

Angenommen ein Beobachter sähe ein Objekt mit der Ruhelänge L' mit v auf sich zurasen. Dann sähe er dieses verlängert gemäß:

L=L'*√((1+v/c)/(1-v/c)) bzw. L=L'*√((1+β)/(1-β))

Analog dazu erschiene ein Objekt, das sich entfernt, verkürzt gemäß:

L=L'*√((1-v/c)/(1+v/c)) bzw. L=L'*√((1-β)/(1+β))

Bei β=0,8 (β=v/c) erschiene das Objekt demnach bereits um den Faktor 3 verlängert bzw. verkürzt!

Hingegen ergibt die Längenkontraktion mit L=L'/γ bzw L'=L/γ bei 0,8 c nur eine Verkürzung um den Gammafaktor 1.667, also eine Verkürzung auf 60% der Ruhelänge.
Dietmars Beispiel enthält die Annahme von β=0,5, hier beträgt der Gammafaktor 1.155, was eine Lorentzkontraktion auf ca. 86 % der Ruhlänge ergibt, dem gegenüber stünde eine optische Verlängerung um den Faktor 1.73 ... hier übersteigt zwar die Lorentzkontraktion die Längenverzerrung bereits, aber die Lorentzkontraktion verändert sich dadurch dennoch - und zwar nur im Fall des bewegten Objektes, wogegen sie bei der bewegten Kamera unverändert bleibt.

Das ist der Grund, weshalb die Symmetrie nicht mehr gegeben ist, und deshalb Bereiche hinter den Objekten sichtbar werden, die aus Sicht der bewegten Kamera deshalb nicht sichtbar sind, weil hier das ruhende Objekt nicht diese zusätzliche durch die Bewegung bedingte Verzerrung aufweist. Die unsichtbaren Bereiche müssten in diesem Bezugssystem daher auf irgendeine andere Art in die Kamera gelangen. Aberration kommt aber nicht in Frage, weil die im anderen System freigegebenen Photonen hier überhaupt nicht weiter geschickt, sondern von davor stehenden Objekten absorbiert werden. Es müssen ja genau jene Photonen auf die Bildfläche gelangen, die derselben Perspektive in beiden BS entsprechen!

Wie schon im Aufsatz ausgeführt, entsteht durch die unterschiedliche Sichtbarkeit gewisser Objektteile auch ein unterschiedlicher Tiefeneffekt. Das Relativitätsprinzip, demnach es keine Rolle spielen dürfe, ob sich die Kamera oder das Objekt bewegt, ist daher verletzt!

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IV: Symmetrie der Zeitdilatation

Wir wollen nun untersuchen, ob sich die Symmetrie der Zeitdilatation tatsächlich aus den Lorentz-Transformationen ergibt. Dafür ist es allerdings notwendig, einen zweiten von O1 ausgehenden Strahl einzuführen, wobei ich hierfür einen sich "waagrecht" zur Kamera ausbreitenden Strahl wähle.
Aufgrund der Zeitdilatation muss die Zeitspanne TA zischen der Emission des waagrechten und des geneigten Strahls beim Objekt, welche mit einer beim Objekt ruhenden und folglich aus Kamerasicht langsamer gehenden Uhr gemessen wurde, mit der im Kamerasystem I' gemessen Zeit gemäß TA'=TA/γ zusammenhängen.
Aufgrund der Symmetrie der ZD muss umgekehrt die im Kamerasystem mit einer in der Kamera ruhenden und folglich aus Objektsicht ebenfalls langsamer gehenden Uhr gemessenen Differenz der Ankunftszeiten bei der Bildfläche (TB') mit der Zeit im Objektsystem gemäß TB=TB'/γ zusammenhängen.

Objektsicht - Waagrechter Strahl:

Emissionszeitpunkt: Auch dieses Photon wird von der x-Koordinate xW1=299792,458 km emittiert. Die Entfernung Objekt-Lochkamera wird mit L/c=1 s überwunden. Emissionszeitpunkt war daher tW1= -1 s. Also startete er etwas später als der geneigte, da dieser schließlich eine größere Entfernung zurücklegen musste. Somit wird auch hier die Lochblende bei x2=0 km, y2=0 km, t2=0 s erreicht.

Auftreffpunkt auf der Bildflächel: Dieser Strahl legt die Entfernung Lochblende-Bildfläche in tW3=DK/(c+v)= 0,444752126930869 s zurück (er kommt selbstverstäändlich etwas früher als der geneigte an). In dieser Zeit legt er mit tW3*c= 133333,33333 km zurück. Als Auftreffpunkt auf der Bildfläche ergibt sich somit xW3= -133333,33333 km, y= 0 km.

Kamerasicht - Waagrechter Strahl - LT:
Emission des Strahls: xw1'= 519255,768982 km tw1'= -1,73205080757 s	Strahl erreicht die Bildfläche: xw3'= -230940,107676 km xt3'= 0,77033328062 s

Vergleich waagrecht-geneigt: Emission

Objektsystem: Der waagrechte Strahl wurde bei tW1= -1 s, der geneigte bei ta1= -1,054165549 s emittiert. Das ergibt TA=ta1-tW1= 0,05416554943 s. Wir nehmen nun obige Formel TA'=TA/√(1-v²/c²) und erhalten TA'= 0,0625449891 s. Ist das korrekt? Sehen wir mal:
Kamerasystem: Der waagrechte Strahl wurde bei tW1'= -1,73205081 s, der geneigte bei ta1'= -1,7945957967 s emittiert. Das ergibt TA'=ta1'-tW1'= 0,0625449891 s. Die Werte stimmen tatsächlich überein.

Vergleich waagrecht-geneigt: Bildfläche

Kamerasystem: Der waagrechte Strahl trifft bei tW3'= 0,77033328062 s, der geneigte bei ta3'= 0,783995122 s auf die Bildfläche auf. Das ergibt TB'=ta3'-tW3'= 0,0136618414 s. Wir nemen nun obige Formel TB=TB'/√(1-v²/c²) und erhalten TB= 0,0136618414 s. Ist das korrekt? Sehen wir mal:
Objektsystem: Der waagrechte Strahl trifft bei tW3= 0,4447521269 s, der geneigte bei ta3= 0,460527463 s auf die Bildfläche auf. Das ergibt TB=ta3-tW3= 0,01366184141 s. Die Werte stimmen tatsächlich überein.

Wie wir sehen, gehen die in jeweiliger Sicht "bewegten" Uhren von allen IS aus betrachtet langsamer. Die Symmetrie der Zeitdilatation und das Relativitätsprinzip ist somit gesichert.

Problematik?

Ist nun diese unterschiedliche Zeitdauer zwischen den Ankunftszeiten ein Problem, d.h. müsste nicht, wie H. Maurer hier meint, ein anderes Bild herauskommen, wenn Ankunftszeiten zwischen waagrechten und geneigten Strahl je nach IS um den Gamma-Faktor differieren? Mit Sicherheit nicht: Wer nämlich solches annimmt, behauptet im Grunde nichts anderes, dass mit unterschiedlich laufenden Uhren die selben Uhrzeiten herauskommen müssten:

An dieser Stelle versucht Dietmar, die unterschiedlichen Laufzeiten, die sich aus den unterschiedlichen Lichtstrecken je Bezugssystem ergeben und zu Verzerrungen von der Art eines Weitwinkels bzw. einer Fernaufnahme führen, nicht auf die unterschiedlichen Strecken sondern auf die Zeitdilatation zurückzuführen. Das ist jedoch eine falsche Auffassung, zu welcher man schnell verleitet wird, weil die Unterschiede stets das Ausmaß des Lorentzfaktors haben. Doch lesen wir erstmal weiter:

Eine offenkundige Absurdität. Aber vielleicht näheres dazu:

< Weitwinkel-Verzerrung Fernaufnahme, unverzerrt >

1) Es ist eine grundlegende Voraussetzung der RT, dass in verschiedenen IS Uhren mit unterschiedlicher Geschwindigkeit laufen. Wenn man sich z.b. eine 100m Sprint ansieht, ist es völlig irrelevant, mit welchen Uhren Start und Endzeit gemessen werden. Sagen wir z.b., jemand misst mit einer Uhr eine Laufzeit des ersten Läufers von 8 s, und des zweiten Läufers von 9 s. Nun soll der gleiche Lauf mit Uhren aus einem IS gemessen werden, in welchem die Uhren doppelt so schnell laufen: Als Ergebnis wird dieser 16 s bzw. 18 s erhalten. Wird jetzt irgend jemand auf die Idee kommen, es handle sich hier um verschiedene Ereignisse, oder es läge ein Paradoxon vor, weil nun plötzlich der zeitliche und somit auch der räumliche Abstand zwichen den Ankünften der Läufer in einem System 1s, und im anderen plötzlich 2s beträgt? Nun, das hoffe ich jedenfalls nicht....

Da hofft Dietmar falsch, weil seine Erklärung falsch ist. Licht bzw. Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen eine Konstante. Jede Strecke wird überall mit c durchmessen. Wenn nun die Beschreibung eines Ereignisses aus 2 Bezugssystemen erstellt wird, und die Lorentztransformation ergibt veränderte Lichtstrecken, so ist an der veränderten Laufzeit nicht die Uhr im System sondern eben diese Strecke schuld! Denn - wie immer auch die Uhr läuft - die Strecke wird mit c durchmessen! Dass die Streckenveränderung den Lorentzfaktor enthält, und die Uhr daher um diesen Faktor langsamer laufen muss, um c konstant zu halten, resultiert ja aus der veränderten Strecke! Auf allen Lichtlaufstrecken liegt stets c vor, und wenn sich in den Bezugssystemen ein Unterschied ergibt, so hat dies auch auf die Verzerrungen des Bildes seine Folgen! Tatsächlich stellt die Lorentztransformation eine solche Diskrepanz her und sagt damit praktisch je nach Bezugssystem unterschiedliche Bildinhalte auch aufgrund der veränderten Lichtlaufstrecken voraus!

Oder um ein zweites Beispiel zu gebrauchen: Ich male ein Bild, welches einfach dadurch entsteht, dass ich in bestimmten Abständen auf Leinwand diverse Farbtupfer mit einem Pinsel anbringe. Hat es nun irgendeinen Einfluss auf den Bildinhalt, ob dieses Malen des Bildes aus einem IS beobachtet wird, wo der Abstand meiner Pinselstriche untereinander aufgrund schnellerer oder langsamerer Zeitmessung anders gemessen wird? Nein, natürlich wird wohl kein vernünftiger Mensch auf diese Idee kommen - das Bild wird in allen IS unverändert entstehen.

Dieser Vergleich zeigt, dass Dietmar die Problematik gar nicht erkannt hat und nicht erkennt, warum unterschiedliche Lichtlaufzeiten von Objekt bis zum Bildträger Verzerrungen verursachen. Sie entstehen, weil aufgrund der Bewegung des Objektes oder der Bildfläche die Lichtstrahlen aufgrund der veränderten Laufstrecken ein unterschiedliches "Alter" haben. Sie kommen aus nicht übereinstimmenden Entfernungen. Die Lorentztransformation verschiebt mit ihrem Ziel, c konstant zu erhalten, außer der Zeit auch den Ort!

2) Und müssten nicht aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten auch unterschiedliche Verzerrungen wie bei Weitwinkel bzw. Fernaufnahmen entstehen? Der grundlegende Fehler dieser Erwartung liegt (neben der offenkundigen Ignorierung der Zeitdilatation) einfach darin, dass hier Erwartungen, die sich aus der klassischen Physik mit ihrer klassischen Optik ergeben, einfach auf einen Fall übertragen werden, wo relativistische Gesetze und somit die relativistische Optik zu berücksichtigen ist. Man übernimmt nicht einfach Laufstrecken und Laufwege, welche zwar mit relativistischen Methoden gewonnen wurden (LT), und setzt diese Daten jedoch in Verbindung mit einer Bilderwartung, die nur unter klassischen Bedingungen gelten - wo nämlich keine Zeitdilatation, Längenkontraktion, rel. Gleichzeitigkeit, rel. Aberration oder ähnliches berücksichtig werden muss. Nun haben wir ja gesehen, dass dieser "ominöse" Abstand bei den Ankünften nichts anderes als eine Manifestation der ZD ist. Um das klarer zu formulieren:
a) Klassischer Fall (Photos): Hier wird eine Fernaufnahme mit einer Weitwinkelaufahme verglichen, welche beide aus unterschiedlichen Entfernungen in einem IS (!) und bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten (!) gemacht wurden. In diesem Fall gibt es, wie die Bilder zeigen, tatsächlich aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten einen Unterschied in der Bilderwartung - nur hat das leider nichts mit der SRT zu tun.
b) Relativistischer Fall: Hier haben wir im Gegensatz zu a) nur ein Bild, und die "unterschiedlichen" Entfernungen entstehen hier nur durch Wechsel des IS. Aus Objektsicht ist die Kamera kontrahiert, die Abstände beim Aufschlag bei der Bildfläche sind dilatiert. Umgekehrt behauptet man dasselbe auch aus Kamerasicht: Hier sind die Objektabstände kontrahiert, die Abstände beim Aufschlag bei der Bildfläche sind dilatiert. Obendrein ist die Richtung der Strahlen in den IS gemäß relativistischem Additionstheorem miteinander verknüft. All das sind Effekte, welche in der klassischen Optik (in dieser Form) nicht vorkommen - und diese Effekte führen dann dazu, wie oben ja ausführlich demonstriert, dass gerade wegen der unterschiedlicher Laufzeiten und Wege das exakt selbe Bild herauskommen muss, denn wenn jedes Photon des einen System auch im anderen auf die selbe Stelle auftrifft, kann weder eine unterschiedliche Bildgröße, noch eine unterschiedliche Verzerrung herauskommen.
D.h. es gibt einen eklatanten Unterschied in der Bilderwartung zwischen klassischer und relativistischer Sicht und jeder Versuch, die Erwartungen einfließen zu lassen, die man aus "Erfahrungen" mit Photografien bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten (!) gewonnen hat, ist an sich schon abwegig!

Hier irrt der Schreiber! Für das Auftreten von Verzerrungen ist einzig allein der Unterschied zwischen den zentralen und peripheren Lichtstrecken verantwortlich. Was die Uhren in den Systemen machen, ist völlig nebensächlich. Wenn die Strecken einmal unterschiedlich sind, kann dies durch einen veränderten Uhrengang nicht ausgeglichen werden, denn Photonen bewegen sich konstant mit c. Deshalb ist auch der Vergleich mit dem Malen des Bildes verfehlt: In welchem Tempo die Lichtpunkte beim Auftreffen auf dem Bildträger gemessen werden, ist völlig irrelevant, wenn der Bildinhalt schon aufgrund unterschiedlicher Strecken verändert ist. Die Beziehungen zwischen Objekt und Bildträger erfolgen stets nur durch konstant mit c bewegten Lichtstrahlen.

Darüber hinaus erfolgt die Verzerrung je nach Bezugssystem einmal vor der Lochblende und das andere Mal dahinter! Durch Herausspiegeln des Bildinhaltes durch jeweils einen halbdurchlässigen Spiegel vor und in der Kamera könnte man diesen Unterschied feststellen - und da die Lorentztransformation ja das Ereignis physikalisch unverändert transformieren müsste, kann sie keinesfalls richtig sein!

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V: Vignettierung

Kamerasystem

Es stellt sich nun die Frage, ob durch mögliche IS-abhängige Beugungen eine unterschiedle Vignettierung des Bildes entsteht. Dazu nehmen wir an, unsere Koordinaten xa2'=0 und ya2'=0 bezeichnen den oberen rechten Rand der geöffneten Lochblende. Die Höhe des Loches setzen wir auf 1000 km fest. Als Strahl benutzen wird den von O1, wobei dieser die Geschwindigkeitskomponenten u'=-294568,296645845 und w'=-55722,8542417491 hatte.
Um die Schwierigkeiten zu vergößern, nehmen wir eine solche Wandstärke so an, dass das geneigte Photon im Kamerasystem gerade noch durchkommt - das wäre ein Durchmesser (=Ruhlänge) von RL'=5286,31026989185 km, welcher in 0,0179459579665747 s überwunden wird. Also:
xv'=-5286,31026989185 km; tv'= 0,0179459579665747 s; yv'=-1000 km;

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Objektsystem

Mit den Lorentz-Transformationen erhalten wir:
xv=-2997,92458 km; tv=0,0105416554943014 s;

Überprüfen wir das: Wir haben in diesem IS die Geschwindigkeitskomponenten u=-284388,403853702 km/s und w=-94861,7606163068 km/s. Die kontrahierte, entgegenkommende Wand wird erreicht in tv=RL'*γ/(u+v)=0,0105416554943015 s. Das stimmt einmal - und in y-Richtung durcheilt der Strahl deshalb tv*w= 1000 km. Exakt das selbe Ergebnis. Der Strahl kommt also auch hier vorbei und es entsteht keine unterschiedliche Vignettierung.

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Problematik?

Es gibt zwar keine Probleme bei den y-Koordinaten, aber die x-Längen sind kontrahiert. D.h. kommt ein Strahl vorbei, hat er im Kamerasystem vielleicht 1 mm Platz, aber im Objektsystem wären diese auf 0,866 mm kontrahiert. Müsste das nicht exakt bei der Kante, während der Strahl diese passiert, zu unterschiedlichen Beugungen und am Ende doch zu einer unterschiedlichen Vignettierung führen? Ich denke nicht.

Hier denkt Dietmar falsch. Das Bild setzt sich ja aus vielen Strahlen zusammen, und es gibt auf jeden Fall Strahlen, deren Abstand vom Lochrand bezugssystemabhängig ist. Mit seinem Bestreben, dieses Paradoxon unbedingt auflösen zu wollen, wählt Dietmar einen Strahl im Kamerasystem aus - in welchem die Wandstärke der Lochblende nicht kontrahiert ist! -, der "gerade noch durchkommt" und freut sich, dass dieser Strahl im Objektsysstem bei der kontrahierten Wand keine Probleme hat. Dietmar hätte natürlich umgekehrt vorgehen müssen, denn der Strahl, der bei der dünneren Wand keine Probleme hat, bekommt diese bei der dickeren. Immerhin erkennt Dietmar, dass der Abstand jedenfalls verändert wird und muss daher eine Veränderung der Strahldicke postulieren, um eine unterschiedliche Vignettierung zu vermeiden. Dabei argumentiert er wie folgt:

Hierzu ein Beispiel: Betrachten wir eine Lampe, welche einen Lichtkegel nach unten wirft. Nun besteht dieser Strahl aus sehr vielen Photonen, die untereinander einen bestimmten horizontalen Abstand besitzen. Aus Sicht eine vorbeibewegten IS ist die Lampe jedoch kontrahiert - selbstverständlich auch der horizontale Abstand (nicht der vertikale Abstand, also keine Veränderung von Frequenz oder Wellenlänge!) zwischen den Photonen des Strahls. Diese Konsequenz ist unausweichlich, ansonsten wäre der Lichtkegel bereits bei seiner Erzeugung größer als die Lampe. Das Bild sagt dazu wohl alles:

Eine unausweichliche Konsequenz daraus ist, dass bei der Lochkamera analoges passieren muss. Der horizontale Durchmesser des Strahles muss sich verringern. Das gilt natürlich nicht für die Photonen als solche, welche allgemein als punktförmig, also ausdehnungslos definiert werden.

Dieses Argument geht schon in mehrfacher Hinsicht daneben. Ausgehend vom Photonen-Modell wären Lichtteilchen keinesfalls ausdehnungslos, sondern hätten - ebenso wie Elektronen - einen Wirkungsbereich, der durch bestimmte Kriterien, wie Wellenfunktion und Spin zum Ausdruck kommt und nicht Null sein kann. Aber Licht besteht tatsächlich aus Wellen (od. wellenähnlichen Impulsen) - und wenn Dietmar hier entweder die Strahlen auf einen engeren Bereich zusammengequetscht oder gar die Amplituden der Wellen verschmälert sehen will, so würde sich dies in beiden Fällen in einer Veränderung der Licht-Intensität auswirken. Die einzige Veränderung, welche die Lorentztransformation dem Licht zugesteht, ist aber nur jene der Frequenz (Doppler-Effekt).

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VI: Fazit

Am Schluss muss ich feststellen, dass zumindes zum jetzigen Zeitpunkt kein Paradoxon vorzufinden war.

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