Beschleunigung I

[Trigemina]

Hallo Yukterez

Das negative Vorzeichen ist kein Problem (hab's für eine andere Anwendung in dieser Form gebraucht): einfach negatives Vorzeichen vor die Gleichung stellen oder Begrenzungen vertauschen oder die Summanden (so wie es Du gemacht hast).

Zum eigentlichen Problem: Fällt ein Körper aus endlicher Entfernung radial auf den r_s zu, wird er von einem feldfreien sehr viel weiter aussen stehenden Beobachter noch nicht "festgefroren" beobachtet, sondern mit v_feldfrei > 0. Am Beispiel der fiktiven Schwarzloch-Erde wird dieser Punkt innerhalb des r_s berechnet. (r_s * 0.999962693...)

Erst wenn ein Körper aus feldfreier Startposition Richtung r_s fällt, wird er vom feldfreien Beobachter mit v=0 beobachtet.

Die Situation für einen beliebigen Schalenbeobachter, der z.B. an der Startposition des freifallenden Körpers verbleibt, kann nicht mehr mit einer einfachen Formel berechnet werden, sondern erfordert die Anwendung von Tensoren. Wegen der Koordinatensingularität bei r_s kann nur bis knapp darüber integriert werden, um daraus die Zeitdilatation und damit die vom stationären Schalenbeobachter gemessene Geschwindigkeit des freifallenden Körpers nahe bei r_s zu berechnen. (bei r_s haut's mir Maple um die Ohren, da der Tensor singulär wird!):


restart;G:=6.67428e-11; m:=5.977e24; c:=299792458; a:=G*m/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=r_s+1e-10; r2:=6378000; Digits:=20;

with (linalg):

g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-2*a/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-2*a/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);

r:=r1;

x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);

x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);

t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);


r:=r2;

x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);

x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);

t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);


dt:=t_S2/t_S1-1;f_t:=t_S2/t_S1;

v_Schale_stationaer:=v_feldfrei*f_t;


Die Formel für v_feldfrei ist bekannt. v_Schale_stationaer ergibt für einen Abstand von 1e-10m vor dem Schwarzschildradius eine Geschwindigkeit von 1.19m/s.

Für einen Abstand von 1e-12m vom r_s ergibt sich eine beobachtete Geschwindigkeit von 0.12m/s.


Gruss

[Yukterez]

Was mich erstaunt, ist, dass (bei dem Beispiel mit Erdmasse im s_r und Erdradius als Fallstrecke) genau am letzten Zentimeter von ⅓ LG auf 0 abgebremst wird, und dann noch schneller wieder beschleunigt:


F:=c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/x-1)*sqrt(rs/x));
plotfunc2d(abs(F), x=0..10*rs)

Je grösser die ziehende Masse, desto länger anscheinend auch die Bremsstrecke:


0-Punkt der Funktion auf x: Bereich kurz vor dem r_s; Masse: 1kg..3.7*10^49kg

Die Maximalgeschwindigkeit (vor dem Eintritt in den r_s) bei v_Feldfrei liegt in meiner Rechnung übrigens, unabhängig von der Masse, bei 0.3849 c (1.1539e8m/sek), kannst du das bestätigen ?

[Trigemina]

@ Yukterez

Zuerst zu Deinen animierten Plots: die sind wunderschön!

Ich kann Dir Deine Vermutung nur partiell, jedoch hinreichend genau bestätigen! Das genauste Ergebnis erhält man durch Differentation der Gleichung v_feldfrei nach r1 und anschliessendem Gleichsetzen des Differentials mit Null sowie abschliessender Bestimmung von r1, das zur maximalen Geschwindigkeit für einen feldfreien Beobachter führt:


v_max = 0.3848628720*c Beispiel fiktive Schwarzloch-Erde
v_max = 0.3848737989*c doppelter Abstand r2, gleiche Masse
v_max = 0.3848815256*c vierfacher Abstand r2, gleiche Masse

v_max = 0.3848474187*c doppelte Masse, Abstand 6378000m
v_max = 0.3848255646*c vierfache Masse, Abstand 6378000m
v_max = 0.3847946578*c achtfache Masse, Abstand 6378000m

v_max = 0.3848815259*c halbe Masse, doppelter Abstand
v_max = 0.3848955160*c achtel Masse, achtfacher Abstand
v_max = 0.3849001422*c tausendstel Masse, 1000facher Abstand


Es besteht somit eine geringfügige Tendenz für die Erhöhung der Maximalgeschwindigkeit eines feldfreien Beobachters, wenn sich der obere Abstand r2 erhöht und sich die Zentralmasse verringert.

Die maximale Geschwindigkeit v_max wird unabhängig der Parameter Zentralmasse und oberer Abstand r2 immer exakt beim dreifachen Abstand zum Schwarzschildradius erreicht!

Gruss

[Trigemina]

Du bist schon mit Newton restlos überfordert. Versuch also schon gar nicht die ART zu verstehen, sondern mach dich hier schleunigst vom Acker und troll woanders rum!

[Yukterez]

@ Yukterez
Zuerst zu Deinen animierten Plots: die sind wunderschön!

Deine Formeln aber auch !
Solche Aussagen freuen mich ausserdem immer, und ganz besonders von dir (:
Wenn dir animierte Plots gefallen, klick diesen hier an:


x:=v*sin(u): y:=v*cos(u): z:= v*u:
plot(plot::Surface(
[x,y,z], u = -4*PI..7*PI, v = -4*PI..7*PI))

In den meisten Fällen kommt man aber denn doch genau am s_r auf v_Feldfrei=0; ich hab´s mir in einigen Konfigurationen geplottet, je grösser r2, desto genauer v=0; ist r2 allerdings nur ein paar Millionen km grösser als r_s, kommt man auf v<0 {oder mit abs(F) auf v>0}.
Mit allen anderen Zahlen sieht´s dann aus wie am unterem Plot, immer genau bei r_s dann v=0 :
(x-Achse beginnt mit Schwarzschildradius)


x: Entfernung vom Gravitationszentrum (m), y: Endgeschwindigkeit (m/sek)

Hier nochmal animiert mit steigender Fallstrecke, die x_Achse beginnt auch hier mit dem Schwarzschildradius, a ist der Animationsparameter für r2:



Es nähert sich wie man sieht mit steigender Strecke zwar immer "langsamer" an v=0 am rs an, ab einer gewissen Strecke rs..r2 ist der Stopp dann aber so nah am rs dass man sagen kann exakt am rs, zumindest was die numerische Genauigkeit von Computern angeht (das wäre bei diesem Plot mit 6e24 kg bei r2 ≈ 1e14 bis 1e15 m aufwärts der Fall.)

[Yukterez]

Ich habe mir mal ausgerechnet, ab welcher Distanz r1..r2 die Endgeschwindigkeit von 0 m/sek genau 1 Plancklänge {pm} vor dem Schwarzschildradius erreicht wird; das ist bei Erdmasse als Angabe, wenn meine Rechnung richtig ist, doch erst bei r2 ≈ 2.6776e+063 m der Fall (das ist um 38 Zehnerpotenzen mehr als der Durchmesser des sichtbaren Universums):

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                                             % Matlab Syntax %
syms  kg m sek r2
c   = sym(299792458*m/sek);
G   = sym(6.67384e-11*m^3/kg/sek^2);
M   = sym(5.977e24*kg);
rs  = sym(2*G*M/c^2);
pm  = sym(1.616199e-35*m);

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                                       % für v=0 m/sek gilt: %

r1    = sym((2*r2*rs+r2*sqrt(4*r2-3*rs)*rs^(3/2)-r2*rs^2)/(2*(r2^2-2*r2*rs+rs^2)));
F     = sym(c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+pm)-1)*sqrt(rs/(rs+pm))));

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vpa(solve(F, r2), 100)      % benötigter r2 für v=0 @ rs+pm: %

→ r2  = 0.008876620157241029726918209994830247152864145595527688549181098519948970643525720212501888258298492394 m
→ r2  = 2.67764649912703415772394563376597602040295880650842832133356492187760609821558736100031924496186171e+63 m

Proberechnung:

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r2  = sym(2.67764649912703415772394563376597602040295880650842832133356492187760609821558736100031924496186171e63*m);

F   = sym(c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+1*pm)-1)*sqrt(rs/(rs+1*pm))));
P   = sym(c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+2*pm)-1)*sqrt(rs/(rs+2*pm))));
M   = sym(c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)));

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vF  = vpa(F)     % sollte < p oder m sein / +1.2881e-41 m/sek
vP  = vpa(P)     % sollte mehr als f sein / +5.4584e-25 m/sek
vM  = vpa(M)     % sollte mehr als f sein / -5.4584e-25 m/sek

Ist der r2 niedriger, kommt der Gegenstand noch vor dem rs zum Stillstand; ist der Abstand aber weiter, dann ist der Stopp auf den Planckmeter genau am rs.
Nochmal in augenfreundlicherer Notation:



Daraus kann man nun doch folgern, dass in der theoretischen Praxis die 0-Geschwindigkeit immer ganz knapp vor dem r_s erreicht würde (bei einem Erdmassen SL). Mit Mathematica habe ich es übrigens nicht geschafft die letzte Zeile In[8] zu evaluieren - das ging nur im Matlab vpa-Mode und mit symbolischen Zahlen.

Edit: Es geht auch in Maple wie ich gerade sehe, sogar kürzer:

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# Maple Syntax, Rechnung:
restart: Digits:=100:
c:=299792458*m/sek: G:=0.667384e-10*m^3/(kg*sek^2): M:=0.5977e25*kg: rs:=2*G*M/c^2: pm:=0.1616199e-34*m:
F := c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+pm)-1)*sqrt(rs/(rs+pm))):
x := solve(F, r2)

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# Proberechnung:
r2 := 2.677646499127034188704440456300455137978516232241727542519919532238689885800534165953907812224611658e+63*m:
vF := c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+1*pm)-1)*sqrt(rs/(rs+1*pm)));
vP := c*((rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)-(rs/(rs+2*pm)-1)*sqrt(rs/(rs+2*pm)));
vM := c*(rs/r2-1)*sqrt(rs/r2)

[Trigemina]

PS: Wie kommt es dazu dass ein guter Mathematiker und Physiker wie Du die einfachsten Fehler nicht erkennen kann?

Beispielsweise in der Formel von Trigemina: "v = sqrt(-2*M*G*(1/r2-1/r1) + v0²*(r2-r1))".

Na Schnief Chief, wieder mal am Trollen? Du versäuberst dich im falschen Thread. Wenn du was Substanzielles zu sagen hast (was eigentlich nie vorkommt), dann stelle es richtig. Das kannst du aber nicht weil erstens nichts Falsches daran ist, und zweitens, selbst wenn etwas falsch daran wäre, du sowieso nicht in der Lage wärst, es richtig zu stellen.

Dazu fehlt dir die Intelligenz, Ausbildung und vor allem der Charakter.

[Trigemina]

Wow, du kannst ja eine Einheitenprobe durchführen. Welches Programm hast Du genommen? Mupad? Und wie wäre es gewesen, gleich noch die Korrektur anzubringen? Ach so, die spucken die Mathe-Interpreter nicht aus, schade!

Trotzdem danke für den Hinweis (Maple liefert diesen Service nicht).)

v = sqrt(-2*M*G*(1/r2-1/r1) + v0²) nach Newton

Ein Ansatz über die Gesamtenergie T+V führt aufs gleiche.

[Yukterez]

Doch, auch Maple kann das:

Code: Alles auswählen

# Maple Syntax
G := 0.667384e-10*m^3/(kg*sek^2): M := 0.5e25*kg: r1 := 0.1e4*m; r2 := 0.1e7*m: v0 := 100*m/sek:
v = sqrt(-2*M*G*(1/r2-1/r1)+v0^2)

[Trigemina]

Stimmt. Ich schleppe die Einheiten nicht mit und rechne dimensionslos. Eine Einheitenprüfung kann durchaus sinnvoll sein, ist aber auch keine Garantie für die Richtigkeit einer Rechnung, weshalb ich mir diese "Lästigkeit" nie angewöhnt habe.

Shit happens!