Schon wieder eine ganze Seite vollgespammt; daher zur Abwechslung wieder was zum Thema. In irgendeinem anderen mittlerweile sogar noch ärger zugespammten Faden gab es schon einmal etwas über den Wurf im expandierenden Universum, allerdings ist das zwischen all dem V-v so schwer zu finden dass es der Übersichtlichkeit halber hier am Anfang einer neuen Seite stehen soll.
Diesmal werfen wir also einen Ball ins Weltall, und rechnen aus wie schnell er sein wird nachdem er so lange geflogen sein wird dass der Raum sich in der Zwischenzeit nennenswert ausgedehnt hat:
Zum Zeitpunkt t = t0 werfe ein Robertson-Walker Beobachter einen Ball mit der Geschwindigkeit
v = c/2. Wie weit kommt der Ball in
T = 10 Mrd. Jahren, welche Pekuliargeschwindigkeit hat er dann lokal und welche Rezessionsgeschwindigkeit relativ zum Beobachter?
Formel:
}{a(t_0)})
Daraus folgt:
}{\sqrt{c^2 \cdot a(T+t_0)^2-v^2 \cdot a(T+t_0)^2+v^2 \cdot a(t_0)^2}})
Lösung:
Die lokale Pekuliargeschwindigkeit des Balls wird dann
0.296 c (relativ zur CMB) betragen. Kombiniert mit der Rezessionsgeschwindigkeit sind das relativ zum Beobachter
0.535 c; in der Zeit hat sich der Ball
4.073 Mrd. Lj. vom Beobachter entfernt.
Lichtgeschwindigkeit bleibt lokal Lichtgeschwindigkeit, während Geschwindigkeiten im neutonischen Limit invers proportional zum Skalenfaktor mit v0·a0/a abnehmen (doppelter Skalenfaktor → halbe Geschwindigkeit). Die kinetische Energie sinkt dann mit e0·a0/a², während die Frequenz und Energie eines Photons linear mit f0·a0/a abnimmt.
Rechnung:


Bemerkung: am Anfang hat der Ball relativ zum Werfer eine totale Geschwindigkeit von 0.5 c; 10 Mrd Jahre später sind es 0.535 c. Dennoch hat er weniger als t·v (das wären dann etwas mehr als 5 Gyr), sondern nur 4.073 Mrd. Lj. zurückgelegt (trotz, oder eigentlich wegen des expandierenden Raumes). Das dürfte in den Ohren so mancher selbsternannter Intelligenzbestien hier ziemlich komisch klingen.
Wenn wir einen schnelleren Partikel nehmen, oder im Grenzfall Licht, ist die Entfernungszunahme größer als man nach t·v erwarten würde (im Limit von Ekin=m/2·v² geht bei sinkender kinetischer Enegrie die Pekuliargeschwindigkeit sehr viel stärker zurück als bei hohen Energien mit Ekin=mc²/√(1-v²/c²)-mc² - der Verlust an Pekuliargeschwindigkeit und der Gewinn an Rezessionsgeschwindigkeit kann also in die eine oder andere Richtung überwiegen).
Zusammenführend,
