Ein Tag ist um, deshalb genug getrollt und weiter im Text.
hat geschrieben:Wie weit kommt ein anfangs 10 m/sek habendes Objekt in 10 sek, wenn es in dieser Zeit einem kontinuierlichen
Crackpop von 10 m/sek⁷ ausgesetzt ist, und wie schnell ist es dann?
Hier haben wir inklusive der 0ten 8 Ableitungen der Position nach Zeit, von d0 bis d7 nummeriert. Es sind zwar außer zweien alle auf 0 gesetzt und kürzen sich zum Teil heraus, um die Lösung aber allgemein zu halten und damit das Muster nachvollziehbar bleibt lasse ich sie symbolisch mit einfliessen.
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Derivat Bezeichnung Initialwerte
x[t] Position d0 = 0 m/sek⁰
x'[t] Geschwindigkeit d1 = 10 m/sek¹
x''[t] Beschleunigung d2 = 0 m/sek²
x'''[t] Ruck d3 = 0 m/sek³
x''''[t] Wupptizität d4 = 0 m/sek⁴
x'''''[t] Crackle d5 = 0 m/sek⁵
x''''''[t] Pop d6 = 0 m/sek⁶
x'''''''[t] Crackpop d7 = 10 m/sek⁷
Die Differentialgleichung für konstante Geschwindigkeit, also die erste Ableitung, lautet
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{x'[t] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Die Funktion für die Position nach Zeit reduziert sich bekanntlich auf
Position = ... + Zeit mal Geschwindigkeit:
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x[t] → d0 + t*d1
Nehmen wir eine Beschleunigung dazu wird daraus
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{x''[t] == d2, x'[0] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Was sich zusätzlich zur Initialgeschwindigkeit reduziert auf
Position = ... + Halbe Beschleunigung mal Quadratzeit:
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x[t] → d0 + d1 t + d2/2 t^2
So weit dürfte das jedem gebildeten Menschen bekannt vorkommen, wenn man sich statt d1 ein v und statt d2 ein a vorstellt. Da hier aber 7 Ableitungen vorkommen verwenden wir weiter die d# Notation mit der Einheit m/sek^#. Nun kommt also der Ruck d3 dazu, der mit der Einheit m/sek³ logischerweise mit Zeit³ multipliziert gehört um eine Strecke zu ergeben:
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{x'''[t] == d3, x''[0] == d2, x'[0] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Dafür erhalten wir ein
Position = ... + Ruck durch 6 mal Kubikzeit:
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x[t] → d0 + d1 t + d2/2 t^2 + d3/6 t^3
Wie man sieht zeichnet sich hier ein Muster ab:
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x[t] → Σ[d_n/n!, n=0..3]
was bei 7 Ableitungen dann
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x[t] → Σ[d_n/n! t^n, n=0..7]
also ausgeschrieben
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x[t] → d0/0! t^0 + d1 /1! t^1 + d2/2! t^2 + d3/3! t^3 + d4/4! t^4 + d5/5! t^5 + d6/6! t^6 + d7/7! t^7
wäre. Mit den vorgegebenen Zahlen aus dem Beispiel erhalten wir also eine zurückgelegte Strecke von
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x[10 sek] → 19941.3 m
Statt einem konstanten Wert wie d7 = 10 m/sek⁷ kann man natürlich auch dynamische Funktionen wie d# = C[1]·Sin[t/C[2]] oder was auch immer einsetzen.
Tutorial:
https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivative_intro/v/calculus-derivatives-1https://khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/indefinite_integrals/v/antiderivative-accelerationDas Rätsel lösend,
, die ihr mit mathematisch formalisierten Strukturen über Messwerte zu ordnen versucht. Insofern bilanziert ihr Strukturen und stellt in der Folge Fehlmengen fest, die ihr mit anderen "Mengen" ergänzt, um die Ergebnisse zu erhalten, die ihr möchtet. Das kann man auch unter Aufrechterhaltung von Mythen abheften.Das war es schon. Großartige Leistung. Ganz großes Kino.
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hat geschrieben:
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