Expansion des Universums

[Yukterez]

Das heisst natürlich nicht, daß die beiden Waldorfdeppen Ernst und Jondalar damit aus dem Schneider sind. Die Formel haben wir ihnen zwar vorkauen müssen; jetzt sollen sie aber wenigstens die hinteren Kommastellen und die Geschwindigkeiten beim Aufprall nachliefern, damit sie vor lauter purem Herumgetrolle nicht noch vollends verblöden.

Beschäftigungstherapie verordnend, Yukterez

[McDaniel-77]

Echauffierter Yukterez,

jeder der Potenzrechnen kann, sollte kapieren, dass eine Masse von 10^22 kg

100.000.000.000.000.000.000.000 kg

gegen Massen von 10^-2 bis 10^3 kg überhaupt nicht ins Gewicht fallen, jedenfalls nicht merklich.

Rechne doch bitte noch mal das Fallbeispiel für Erde und Mond durch, das dürfte von höherem Interesse sein, da es echte Relevanz für unser Anliegen "Den Kosmos verstehen zu wollen" besitzt:


Die Masse der Erde kann gerundet mit 6,0*10^24 kg (5,974*10^24 kg - Wiki) und die Masse des Mondes mit 7,0*10^22 kg (7,349*10^22 kg - Wiki) angenommen werden.

Einmal bitte mit der Standard-Formel aus dem Schulbuch "Alle Massen fallen gleich schnell":

F = G * m1 * m2 / r²

Und das zweite mal korrekt berechnet mit der Berücksichtigung der Mondmasse und der Fallbeschleunigung beider Körper.
Danke!

McDaniel-77

[Yukterez]

Das würde ich gerne auch gleich tun, aber da mein Faltrechner gerade abschnur ist, und ich mit meinem Schnurlosanschnurtelefon vorlieb nehmen muss, gibt es heute nur die Formel, und morgen erst die Zahlen.

Unbenannt.PNG (91.84 KiB) 7417-mal betrachtet

h ist hier der Abstand (Boden zu Boden), den die beiden Körper zueinander haben, bevor man sie aufeinander loslässt.

Auf morgen vertröstend, Yukterez.

Edit: Bildgröße angepasst und Schlampigkeitsfehler ausgebügelt

[McDaniel-77]

Hi Yukterez,

das sieht schon mal ganz gut aus.

Die Fallzeit zwischen Erde und Mond

G = 6,6738480 * 10^-11 [m³/kg*s²] (Gravitationskonstante)

Masse Erde - m1 = 5,974*10^24 kg
Mittlerer Durchmesser Erde - 2r_erde = 12.734.935 m
Masse Mond - m2 = 7,349*10^22 kg
Mittlerer Durchmesser Mond - 2r_mond = 3.476.000 m

Der Schwerpunkt liegt zwischen Erde und Mond zu 98,785% bei der Erde.

Die Gravitationsbeschleunigung

Die Masse m1 zieht die Masse m2 an und umgekehrt. Die beiden Einzelbeschleunigungen beziehen sich dabei auf den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Gesamtbeschleunigung der Körper aufeinander zu ist die Summe der Einzelbeschleunigungen, und ihr Betrag ist:

a1 + a2 = G * m1 * m2 / r²

korrekt gerechnet muss man a1 und a2 in Abhängigkeit von r berücksichtigen (integrieren):

a1(r) + a2(r) = G * m1 * m2 / r²

Die Fallzeit

t² = s * 2 / a >>> t = Wurzel (s * 2 / a)

Für den Fall der vom Radius abhängigen Fallbeschleunigungen a1 und a2:

t = Wurzel { 2 * r / [a1(r) + a2(r)] }

Aus der letzten Formel muss man das Integral bilden. Unter der Wurzel steht der doppelte Radius 2*r (Abstand zwischen den Schwerpunkten der Massen) und die Summe der beiden nach dem Radius r zu integrierenden Fallbeschleunigungen a1 und a2, durch diese Summe wird das Produkt des doppelten Radius dividiert und daraus sie Wurzel gezogen, das Ergebnis sollte die Falldauer aus gegeben Abstand r sein.

Wie man sieht, spielt die zweite Fallbeschleunigung a2 sehr wohl eine Rolle, aber nur wenn sie nicht um viele Zehnerpotenzen geringer als die der Hauptmasse a1 ist. Im Beispiel Erde-Mond, kann man die Fallbeschleunigung aus meiner Skizze ablesen:

Der Einfluss des Mondes liegt hier bei etwa 1,1%, stark zunehmend bei Annäherung.

MfG

McDaniel-77

[Yukterez]

Beim Beispiel Mond auf Erde benötigt man bei gleicher Entfernung zur Oberfläche (300m) nur noch 9 sek, anstatt, wie bei Hammer oder Feder, 19 sek:

Mond auf Erde, 300m.png (8.68 KiB) 7474-mal betrachtet

Genau wie ich schon auf Seite 30 prophezeite, braucht man hier beide Massen. Zu beherzigen ist hier auch, daß die Erde, im Gegensatz zu Hammer und Feder, einen nicht mehr zu vernachlässigenden Eigenradius besitzt, und daß im Grunde genommen der Mond auf die Erde fällt.

Beweisführend, Yukterez

[McDaniel-77]

Lieber Yukterez,

wie du nun selbst ausgerechnet hast, hängt die Fallzeit von beiden Massen ab, der Mond fällt schneller auf die Erde als ein Hammer. Ein Hammer fällt schneller auf die Erde als eine Feder, nur das bei diesen beiden Mini-Massen man nur mit einer Atomuhr und vermutlich einen Kilometer hohen Fallturm benötigt um diesen Unterschied zu messen.

Ich muss hier Jondalar Recht geben, denn er hat immer nur behauptet, dass der Mond schneller auf den Merkur fällt, als eine Feder. Und das stimmt, sofern man die Standard-Lehrmeinung zur Gravitation anwendet. Die Aussage aus Schulbüchern, dass alle Massen gleich schnell auf die Erde fallen ist falsch. Ein 10 Tonnen schwerer Satellit würde bei gleicher Bahnhöhe und Geschwindigkeit, wie ein 100 kg Satellit auf die Erde stürzen, weil die Anziehungskräfte zwischen der Erde und dem 10 Tonnen schweren Satellit größer sind, als zwischen der Erde und dem 100 kg Satellit.

Wenn man jetzt die korrekte Formel verwendet, was errechnet man dann für die Umlaufbahn des Mondes um die Erde? Der Mond hat keine Konstante Entfernung zur Erde (Große Halbachse: 384.400 km):
Große Halbachse - 384.400 km
Periapsis - 363.300 km
Apoapsis - 405.500 km

MfG

McDaniel-77

[Harald Maurer]

Beim Beispiel Mond auf Erde benötigt man bei gleicher Entfernung zur Oberfläche (300m) nur noch 5 sek, anstatt, wie bei Hammer oder Feder, 13 sek:

Zuerst berechnest Du die Fallzeit von Hammer und Feder auf den Mond mit 13 s, dann berechnest Du die Fallzeit des Mondes auf die Erde mit 5 s - und das vergleichst Du nun? Was soll das aussagen?
Du hast die Fallzeit des Mondes auf die Erde aus 300 m Höhe mit 5,11904 s berechnet. Und nun rechne mal die Fallzeit des Hammers und jene der Feder auf die Erde aus 300 m Höhe aus!
In der Entfernung des Mondes (60 mal den Erdradius) beträgt die Fallbeschleunigung 2,72*10^-3 m/s². Das gilt auch für einen Hammer in derselben Entfernung. Das Verhältnis zur Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist
a_hammer/a_mond= (60*r_erde/r_erde)²
--> a_hammer=3600*a_mond.
Das ergibt für
a_hammer = 2,72*10^-3*3600 m/s²= 9,8 m/s² !
Für Hammer und Mond gilt daher dieselbe Fallbeschleunigung und demnach müsste Hammer und Mond aus 300 m Höhe auch dieselbe Fallzeit haben!

Die auf den Mond in seiner Entfernung wirksame Fallbeschleunigung Richtung Erde ergibt sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz:
(4*pi²*60*r_erde)/Umlaufzeit Mond mit 2,36*10^6 s = 2,72*10^-3 m/s² !
Ob's den Mond betrifft oder einen Hammer, ist egal. Auch der Hammer würde auf der Bahn des Mondes in 27,3 Tagen die Erde umkreisen. Und - wie gesagt - aus 300 m Höhe ebenso schnell wie der Mond zur Erde fallen! Wäre es nicht so, dann wäre das Äquivalenzprinzip widerlegt (Schwere Masse = Träge Masse!)

Die Anziehungskraft zwischen Erde und Hammer ergibt sich mit F=G*m_hammer*M_erde/R²
Die Beschleunigung des Hammers a_hammer = F/m_hammer!
Die Anziehungskraft zwischen Erde und Mond ergibt sich mit F=G*m_mond*M-erde/R²
Die Beschleunigung des Mondes a = F/m_mond !
Da muss doch für Hammer und Mond dasselbe herauskommen!


Grüße
Harald Maurer

[Yukterez]

wie du nun selbst ausgerechnet hast, hängt die Fallzeit von beiden Massen ab, der Mond fällt schneller auf die Erde als ein Hammer.

Hast du ein Augenleiden, oder machst du Witze? Genau das habe ich ja von Anfang an gesagt /:
viewtopic.php?p=59909#p59909

Ich muss hier Jondalar Recht geben, denn er hat immer nur behauptet, dass der Mond schneller auf den Merkur fällt, als eine Feder.

Dann hast du wenig bis gar nichts verstanden. Jondalar, Ernst und Highway stehen auf der Seite derer, die es NICHT verstanden haben, während Harald Maurer, Chief, Lübecker und meine Wenigkeit es immer schon gewusst haben. Der Hammer überholt die Feder eben NICHT, es sei denn, du sorgst für Luftwiderstand. Da schreibt man extra das volle Integral hin, und dann so was... er gibt Jondalar, der genau wie Ernst jaulend den Schwanz eingezogen, und sich vor der Rechnung gedrückt hat, recht.

Perlen vor die Säue werfend, Yukterez

[Yukterez]

Da muss doch für Hammer und Mond dasselbe herauskommen

Richtig, steht alles in der Rechnung. Alles eine Frage, ob man vom gemeinsamen Schwerpunkt, oder der Oberfläche aus rechnet. Das Integral habe ich so erstellt, wie ich meine, daß Newton es auch getan hätte, oder hab ich noch was übersehen?

Endlich wen gefunden habend, der es versteht, Yukterez

[Yukterez]

wie du nun selbst ausgerechnet hast, hängt die Fallzeit von beiden Massen ab, der Mond fällt schneller auf die Erde als ein Hammer.

Nur damit wir uns da richtig verstehen: der Mond fiele, beraubte man ihn seiner Orbitalgeschwindigkeit, schneller auf die Erde, als ein Hammer auf den Mond!

Missverständnisse ausräumend, Yukterez