Relativistischer Dopplereffekt

[Ernst]

xo und to fällt nicht zwangsläufig, wie von dir offenbar angenommen, mit dem Koordinatenursprung zusammen. Mehr habe ich dazu nicht mehr zu sagen.

Ne, nur zu einem Zeitpunkt. Es gilt für jeden Zeitpunkt, also auch für diesen.

Nichtsdestotrotz habe ich dir nun extra die ganz allgemeine Form hingeschrieben. to und xo sind nun beliebige Werte. Hast du übersehen oder?

Ein spezieller Nulldurchgang der Welle befindet sich zur Zeit t=t0 bei x0. Nach einer Periodendauer zur Zeit t= t0+1/f befindet sich der gleiche Wellennulldurchgang bei xo+λ.

λ=c/f
λ'=c/f '
gamma =sqr(1-v²/c²)
x' = gamma (x-v*t)
t=to; x=xo; xo' = gamma *(xo-v*to)
t = to+1/f; x=xo+λ; x1'= gamma (xo+λ -v*(to+1/f)
λ' = x1'-xo' = gamma ( λ - v/f)
λ' = gamma * (c-v)/f = c / f '
f ' / c = f /(gamma*(c-v))
f ' = f * c / (gamma*(c-v)
f ' = f * c * sqr (1-v²/c²) / (c-v)
f ' = f * sqr (c² - v²) / (c-v)
f ' = f * sqr ((c+v)/(c-v))
f = f ' *sqr ((c-v)/(c+v))

.
.

[Ernst]

Ich bin immer noch der Meinung das du hier spätestens einen Fehler eingebaut hast: λ' = x1'-xo' = gamma ( λ - v/f)
Weil:
λ' = x1'-xo' = gamma ( xo+λ - v/f) - gamma ( xo - v/f) » gamma ( xo+λ - v/f -xo + v/f)
λ'= gamma ( λ)

Richtig rechnen:

Erste Version:
xo' = gamma *xo
x1'= gamma (xo+λ -v/f)
λ' = x1'-xo' = gamma [(xo+λ -v/f) - xo)]
λ' = x1'-xo' = gamma ( λ - v/f)

Verallgemeinerte Version:
xo' = gamma *(xo-v*to)
x1'= gamma (xo+λ -v*(to+1/f))

λ' = x1'-xo' = gamma [ (xo+λ -v*(to+1/f)) - (xo-v*to)]
λ' = x1'-xo' = gamma [ xo+λ - v*t0 +v/f -xo + v*to]
λ' = x1'-xo' = gamma (λ + v/f)
.
.

[Ernst]

Wieso rechnest du mit zwei verschiedenen Zeiten im ungestrichenen System? Verstehe ich nicht. Das gibt es doch dort nicht wenn man eine Länge abmessen möchte. Die Zeit wird doch erst im gestrichenen System relativ - oder nicht?

Ein spezieller Nulldurchgang der Welle befindet sich zur Zeit t=t0 bei x0. Nach einer Periodendauer zur Zeit t= t0+1/f befindet sich der gleiche Wellennulldurchgang bei xo+λ.
.
.
Gute Nacht

[Trigemina]

Nochmal die Frage: Wieso zwei Zeiten? Das ist doch falsch!

Man kann t0=0 mit dem Phasenbeginn eines Wellendurchgangs definieren und t1 als dessen Ende - oder einfach über die Zeitdauer t=t1-t0.

Mit den Beziehungen

c=f*λ=f'*λ' und t=1/f

ist die Welle eindeutig definiert.

Mit

λ' = γ * (λ - v*t)

lässt sie sich in ein dazu bewegtes Bezugssystem transformieren. Man kann somit die Wellenlänge λ und Zeitdauer t in die LT als Parameter der Streckentransformationen verwenden. Mittels Substitution und Umformen führt das zum optischen Dopplereffekt:



Gruss

[Ernst]

Mit λ' = γ * (λ - v*t)

Dieser Ansatz mit t=t'=0 und x=x'=0 liefert wohl am einfachsten das Ergebnis.

Allerdings siehst du ja hier, daß solch spezieller Ansatz von einzlnen mißtrauisch betrachtet wird.

Daher für die Zweifler meine letzte Version mit allgemeinem t und x.

Am Ergebnis ändert's natürlich nichts. Die Koordinatentransformation zeigt, daß der relativistische Dopplereffekt mit der übrigen SRT kompatibel ist. Das hatte ich ja anfangs bezweifelt.
.
.

[Ernst]

.

Welcher spezieller Nulldurchgang?
Wenn sich ein Nulldurchgang bei t=t0 bei x0 befindet, dann befindet sich zur gleichen Zeit t=t0 ein weiterer bei x1=x0+λ und ein weiterer bei x2+λ+λ usw. Alles zur gleichen Zeit!!!
Nochmal die Frage: Wieso zwei Zeiten? Das ist doch falsch!

Die Empfangsfrequenz entsteht doch dadurch, daß die Wellen kontinuierlich beim Empfänger einlaufen. Also die Wellen bewegen sich in Richtung Empfänger. Wie bewegen sie sich? Sie legen in der Zeitdifferenz dT=t1-to=1/f genau den Weg einer Wellenlänge zurück.
.
.

[Ernst]

Genau, am Ergebnis ändert sich nichts. Es ist so falsch wie zuvor. Du hast dir nach wie vor einen Spezialfall heraus gegriffen der nur für to = 0 gilt!

Stimmt nicht. Einfach mal die Augen aufmachen:

Ein spezieller Nulldurchgang der Welle befindet sich zur Zeit t=t0 bei x0. Nach einer Periodendauer zur Zeit t= t0+1/f befindet sich der gleiche Wellennulldurchgang bei xo+λ.

λ=c/f
λ'=c/f '
gamma =sqr(1-v²/c²)
x' = gamma (x-v*t)
t=to; x=xo; xo' = gamma *(xo-v*to)
t = to+1/f; x=xo+λ; x1'= gamma (xo+λ -v*(to+1/f)
λ' = x1'-xo' = gamma ( λ - v/f)
λ' = gamma * (c-v)/f = c / f '
f ' / c = f /(gamma*(c-v))
f ' = f * c / (gamma*(c-v)
f ' = f * c * sqr (1-v²/c²) / (c-v)
f ' = f * sqr (c² - v²) / (c-v)
f ' = f * sqr ((c+v)/(c-v))

f = f ' *sqr ((c-v)/(c+v))

Es hilft alles nichts. Die korrekte Koordinatentransformation nach Lorentz ergibt den relativistischen Dopplereffekt. Entgegen meiner ursprünglichen Annahme. Es macht aber überhaupt keinen Sinn, sich gegen Tatsachen zu stellen. Für mich jedenfalls.
.
.

[Harald Maurer]

(1) λ=c/f
(2) λ'=c/f '
(3) gamma = 1/sqr(1-v²/c²)
(4) x' = gamma (x-v*t)
(5) t=0; x=xo; xo' = gamma *xo;
(6) t = 1/f; x=xo+λ; x1'= gamma (xo+λ -v/f);
(7) λ' = x1'-xo' = gamma ( λ - v/f);
(8) λ' = gamma * (c-v)/f = c / f ';
(9) f ' / c = f /(gamma*(c-v));
(10) f ' = f * c / (gamma*(c-v);
(11) f ' = f * c * sqr (1-v²/c²) / (c-v);
(12) f ' = f * sqr (c² - v²) / (c-v);
(12a) f ' = f * sqr(c+v)*sqr(c-v)] / [sqr(c-v)*sqr(c-v)]
(13) f ' = f * sqr ((c+v)/(c-v))
(14) f = f ' *sqr ((c-v)/(c+v))

Da hätte ich ja gerne das Haar in der Suppe gefunden. Ist aber keines da! Die Herleitung ist korrekt!
Von 1 bis 14 durchgerechnet mit v=100000 km/s und f=100000 Hz, λ=2,99792458 km, T=0,00001 s habe ich letztlich auch sofort erhalten mit f ' = f * sqr ((c+v)/(c-v)):
f'= 141458,0782 Hz; λ'= 2,119302495 km; T'= 0,00000706923 s.

Dieses Resultat erhält man ebenso mit der kompl. Lorentztransformation (als Ereignis ist die 1. Amplitude nach der Periodendauer von 0,00001 s auf x= -2,99792458 km (=λ) zu wählen, wenn sich die Lichtquelle dem Beobachter nähert).
Daher mit x=-2,99792458, v=-100000 km/s, t=0,00001 s ergibt sich nach LT wie zu erwarten:
x'= -2,119302495 km (=λ'), t'= 0,00000706923 s und das ergibt f'= 141458,0782 Hz; c=const in beiden IS!

Positives v für Vergrößerung des Abstands Sender/Empfänger

Nein, negatives v für Vergrößerung des Abstands. Positives v für Annäherung, also ist (13) f ' = f * sqr ((c+v)/(c-v)) für die Blauverschiebung korrekt.

Grüße
Harald Maurer

[Ernst]

Sag mal, wie bist du denn drauf? Auf welche deiner Korrekturen möchtest du denn gerne dass ich mich konzentriere?

Natürlich auf jene Version, welche ich extra an dich adressiert habe:

http://www.mahag.com/neufor/viewtopic.php?f=6&t=426&p=40870&hilit=nichtsdestotrotz#p40870
.
.

[Ernst]

.
Vorgeblich wurde ja der relativistische Dopplereffekt bestätigt; die Formulierung allerdings läßt Skepsis keimen:

Damit hat dieses Experiment die Voraussagen der Relativitätstheorie auf fünf Stellen genau bestätigt.

http://www.relativitaetsprinzip.info/experimente/dopplereffekt.html
.
.