Yukterez & Co hat geschrieben:Mithilfe der Geodätengleichung erhält man die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen unter dem Einfluss der Masse.
In Schwarzschildkoordinaten mit den Einheiten
gelten ohne Beschränkung der Allgemeinheit in der
-Ebene die Bewegungsgleichungen mit Ableitungen bzgl. der Eigenzeit
des Teilchens:
}-\frac{M \ (r-2 \ M) \ \dot t^2}{r^3}+(r-2 \ M) \ \dot\phi^2})
Setzt man
, welches sich aus dem Linienelement ergibt indem
gesetzt und nach
aufgelöst wird (siehe nächsten Abschnitt) in die Gleichung für
ein, kürzt sich die Formel auf
Diese Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von den klassischen Gleichungen nach Newton durch den zusätzlichen Term in der Gleichung für die radiale Komponente. Dieser bewirkt, dass sich Teilchen mit Ausnahme des Falls, in dem die Umlaufgeschwindigkeit die exakte Kreisbahngeschwindigkeit ist, nicht auf geschlossenen Bahnen um das stellare Objekt bewegen:
Bei Entfernungen
ist der Betrag des Terms
\dot{\phi}^2})
gegenüber der klassischen Physik vermindert. Dadurch ist die Krümmung der Bahn abseits der exakten Kreisbahn bei
)})
stärker als bei einer Ellipsenbahn und die Bahn schließt sich nicht nach einem Umlauf. Dieser Effekt ist bei Untersuchungen der Periheldrehung der Merkurbahn experimentell bestätigt worden.
Bei Entfernungen
hat der Term
gegenüber der klassischen Physik ein umgekehrtes Vorzeichen. Anschaulich gesehen wirkt somit in diesem Bereich die Zentrifugalkraft anziehend statt abstoßend. Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse sürzt.
Für zeitartige Geodäten, also massebehaftete Teilchen, ist das Betragsquadrat der Vierergeschwindigkeit
, woraus sich für die Ableitung der Koordinatenzeit nach der Eigenzeit
ergibt:
(1-v^2)}} = \sqrt{\frac{1 +r \ \dot{r}^2/(r-2 \ M) + r^2 \ \dot{\phi}^2}{1-2 \ M/r}}})
ist hier die lokale 3er-Geschwindigkeit. Im Nenner des mittleren Terms steht links der gravitative und rechts der kinematische Teil der Zeitdilatation.
Die Komponenten
und
der shapiroverzögerten Geschwindigkeit
im System des stationären Koordinatenbuchhalters sind:
und
}.)
Die radiale Komponente enthält das Quadrat des Wurzelterms, da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls
auftritt.
Mit Hilfe der radialen (
) und tangentialen (
) Komponente der lokalen 3er-Geschwindigkeit
lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) Gesamtenergie
und Drehimpuls
ausdrücken:
für Teilchen mit Masse und
für Teilchen ohne Masse. (etc.)
Rolf Gartenzwerg hat geschrieben:Nun scheint er sich zu langweilen, zumal das Nachtragen von Quadratwurzelzeichen und formula cosmetics zwar wichtig, aber auch nicht wirklich sonderlich interessant sind.
hat geschrieben:Diese komischen Useranmeldungen hier im Forum, zum größten Teil haben die hier aber mal Dampf abgelassen, haben irgendwelchen Zwist aus anderen Foren hier reingetragen, waren dann auch schnell wieder weg,....... solangsam wird mir einiges klar.
hat geschrieben:Mir nicht.
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