Scheinbares? Garagenparadoxon --- reloaded and exploded

[Jocelyne Lopez]

Lesen Dschosselinne L E S E N!

Wenn Du lesen könntest, dann wüsstest Du, dass Du den Namen falsch schreibst.

Nicht nur falsch geschrieben, sondern auch falsch phonetisch dargestellt: "Jocelyne" spricht sich mit einem französischen "J" aus, also ein weiches "J" - gibt es in der deutschen Sprache eigentlich nicht (vielleicht wie in dem Wort "Garage")...

Da unser contravariant nicht lesen kann, vielleicht kann er hier hören, wie mein Vorname sich ausspricht:
Video-Vorstellung des Projekts G.O. Mueller

natürlich nicht zu verwechseln mit der Fälschung, die die Typen aus dem Umfeld vom Forum "Alpha Centauri" bei YouTube gestellt haben: http://www.youtube.com/watch?v=NjkIBwh6Z_Q

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

[Trigemina]

Ich gehe auf Fabers Tunnel-Paradoxon ein, wozu Dietmar das Wichtigste in Kürze bereits gesagt hat: Die Bombe explodiert entweder in beiden oder in keinem Bezugssystem.

Faber hat völlig richtig geschrieben dass der Neigungswinkel des Tunnels von 45° im Garagensystems ins Autosystem transformiert steiler ist, also >45°. Wenn nun der Laserstrahl parallel zum Tunnelschacht verlaufen soll um den Detektor zu erreichen und die Bombe zu zünden, muss die Ausrichtung des Laserstrahls im Autosystem entsprechend dieses steileren Winkels ausjustiert werden.

Ins Garagensystem rücktransformiert erscheint die Neigung des Laserstrahls mit dem gleichen Winkel von 45° und zündet auch dort die Bombe.

Gruss

[Faber]

Ich muss meinen letzten Beitrag mit Bild korrigieren. Dort ist durch einen Fehler im Programm die Geschwindigkeit des unteren Lichtstrahls zu hoch.

Dietmar hat recht: der Lichtstrahl geht in keinem Fall durch die Blende. Das Beispiel zeigt keinen Widerspruch in der SRT. Zweiter Flop meinerseits.

Gruß
Faber

P.S.: Es geht um folgenden Beitrag Faber Sa 11. Apr 2009, 21:57

[Faber]

Ich habe mir Gedanken über den Reifenverschleiß gemacht, wenn ein Fahrzeug über eine verkürzte Fahrbahn fährt. Der Übersicht halber ein Bild mit einem Zahnradfahrzeug auf einer Zahnschiene. Das folgende Bild zeigt, dass das nicht ganz einfach ist.



Die Korrektur mit den entsprechenden Geschwindigkeiten einzelner Punkte des Rades ist aber auch nicht problemfrei:



Gruß
Faber

P.S.: SRT macht Spaß!
P.P.S: Edit: Bilder verkleinert und korrigiert

[Faber]

Bitte berücksichtige bei der Verschleißberechnung auch die relativistische Massenzunahme des Abriebs, damit nicht wieder ein Flop daraus wird.

Das scheint gar nicht nötig. Die Geometrie bereitet bereits Probleme.

Gruß
Faber

[Faber]

Ein paar Erläuterungen zu den jüngsten Bildern:

1.) Bild 1 oben
Das Zahnrad erscheint mit Eigenlänge, da es "ruht". Die Zahnschiene erscheint längenkontrahiert, da sie relativ bewegt ist. Die Zähne des Zahnrades sind zu breit für die Zähne der Zahnschiene. Das liegt daran, dass hier nicht berücksichtigt wurde, dass das Rad gegenüber dem Fahrzeug bewegt ist und daher eigentlich verformt erscheinen müsste.


2.) Bild 1 unten
Die Zahnschiene erscheint mit Eigenlänge, da sie "ruht". Das Zahnrad erscheint längenkontrahiert, da es relativ bewegt ist. Die Zähne des Zahnrades sind zu schmal für die Zähne der Zahnschiene. Das liegt daran, dass hier nicht berücksichtigt wurde, dass das Rad gegenüber dem Fahrzeug bewegt ist und daher eigentlich verformt erscheinen müsste.

3.) Bild 2 oben
Die Punkte auf dem äußeren Rand des Zahnrades wurden nun korrigert. Richtung und Betrag der Längenkontraktion hängt jeweils von der Relativgeschwindigkeit eines jeden Punktes in bezug auf das Fahrzeug ab. (Die Speichen wurden nicht korrigiert, sie werden eigentlich ebenfalls i.a. gekrümmt.) Die Zähne des Zahnrades fügen sich nun perfekt in die Zähne der Zahnstange.


4.) Bild 2 unten
Hier wurde die Korrektur nach demselben Schema wie unter 3.) vorgenommen. Nur die Relativgeschwindigkeiten der Punkte auf dem äußeren Rand des Zahnrades haben jetzt als bezug die Zahnschiene. (Auch hier wurden die Speichen nicht korrigiert, sie werden eigentlich ebenfalls i.a. gekrümmt.) Die Zähne des Zahnrades fügen sich von ihrer Breite her ebenfalls perfekt in die Zähne der Zahnstange.

Man kann sich gut vorstellen, wie sich an der Oberkante des Rades eine zweite Schiene parallel zur unteren Schiene in umgekehrter Richtung (d.h. nach rechts) bewegt. In Bild 2 oben wäre der Abstand der Zähne derselbe wie bei der unteren Schiene. In Bild 2 unten wäre der Abstand der Zähne kleiner als die Hälfte von dem der unteren Schiene.

Im Bild 2 unten treten zwei Probleme auf:
a.) Das Zahnrad passt nicht in den Radkasten
b.) Die Höhe der Zähne ist zu groß.

Gruß
Faber

[Faber]

Man schaue sich Bild 2 im vorangehenden Beitrag an und stelle sich nun ein Kugellager vor: Kugeln, die zwischen Rad und Radkasten laufen.

Gruß
Faber

[Faber]

Unten ist ein Niedriggeschwindigkeitszahnradfahrzeug abgebildet. Die Zähne im Zahnrad und in der Zahnstange müssen noch aus dem Vollen geschnitzt werden. Man denke sie sich einstweilen hinzu bzw. die Lücken hinweg.

Für hohe Geschwindigkeiten ist das Zahnradfahrzeug ungeeignet, da jegliche Verformungen des Radkranzes, die von den Verformungen der Karosserie abweichen, zu Problemen führen.

Gruß
Faber

[Trigemina]

Faber listet sehr interessante Gedankenexperimente auf; diesmal eine Erweiterung des Ehrenfest-Paradoxons, die unter idealisierten Annahmen auch mit der Born-Metrik für mechanisch hyperstabile Materialien berechnet werden können. Auch stationär rotierende Räder stellen kein Inertialsystem dar und müssen zur Berechnung relativistischer Effekte in ein nicht-rotierendes Inertialsystem überführt werden, von wo aus in jedes beliebige Bezugssystem transformiert werden kann.

Das Paradoxon der rotierenden Scheibe ist die konsequente Anwendung der am Scheibenrand maximalen Umfangsgeschwindigkeit in einem System mit insgesamt nicht konstanten Umfangsgeschwindigkeiten. Also konstant in Bezug auf eine bestimmte radiale Entfernung, aber nicht konstant innerhalb des ganzen Bereichs des Scheibenradius!

Ein mitrotierender Beobachter am Punkt r=r'=0 hat keine Relativgeschwindigkeit zu einem anderen Punkt auf der Scheibe; ein Beobachter auf r' hat eine von diesem Abstand abhängige Umfangsgeschwindigkeit zum Laborsystem, so dass für jeden radialen Punkt von 0 bis r' ein verschiedenes Koordinatensystem zu verwenden ist. Obwohl zwischen zwei verschiedenen radialen Abständen keine Relativbewegung auf der rotierenden Scheibe vorhanden ist, muss jeder Punkt darauf einem anderen nicht-inertialen System zugeordnet werden, was zur nicht-euklidischen Geometrie der rotierenden Scheibe führt und somit ihre Kontraktion abhängig von r' - trotz fehlender Relativbewegung im Scheibensystem – auch dort widerspruchsfrei erklärt.
Die Physik der Ereignisse darf sich ja durch die Auswahl der Bezugssysteme (Beobachterrolle) nicht verändern!

Der Umfang einer rotierenden Scheibe in ihrem Ruhesystem beträgt U’ = 2*r*Pi. Im Laborsystem ist er abhängig vom Abstand r und der Winkelgeschwindigkeit ω:

U = 2*Pi*r / sqrt(1-ω^2*r^2/c^2)

Im Abstand r vom Mittelpunkt der Scheibe ergibt sich die Zeitdilatation:

dt’=dt*sqrt(1-r^2*ω^2/c^2)



Auch der mit einer rotierenden Scheibe mitbewegte Beobachter stellt Laufzeitunterschiede zwischen dem rechtslaufenden und dem linkslaufenden Signal fest. Wenn man von der Minkowski-Metrik

ds²=c²*dt²-dx²-dy²-dz²

ausgeht und die Koordinatentransformation

x=r*cos(θ+ω*t), y=r*sin(θ+ω*t)

anwendet, ist der raumzeitliche Abstand ds benachbarter Punkte, ausgedrückt in dem rotierenden System, durch die Beziehung

ds²=(c²-r²*ω²)*dt²-dr²-r²*dθ²-dz²-2r²*ω*dt*dθ

gegeben.


Gruss

[Faber]

@Trigemina

Wir befinden uns im x-y-t-System, in dem das Fahrzeug ruht (siehe 3.) Bild 2 oben). Der Mittelpunkt des Rades liegt im Koordinatenursprung. Die Endpunkte der N Speichen sind bei ruhendem Rad keine Funktion der Zeit t:

x_k(t,v=0) = r * cos(2*π * k / N), k = 0,1, ..., N-1
y_k(t,v=0) = r * sin(2*π * k / N), k = 0,1, ..., N-1

Nun drehe sich das Rad mit Umfangsgeschwindigkeit |v| < c (*) Die Endpunkte der N Speichen des drehenden Rades sind nun Funktionen der Zeit t. Geben Sie die Endpunkte an ...

x_k(t,v) = ???
y_k(t,v) = ???

... dann werde ich die Animation entsprechend anpassen, und wir können sehen, ob die Zahnradbahn fahrtauglich ist.

Gruß
Faber

(*) Umfangsgeschwindigkeit bei x = 0 und y = -r (bei der Zahnstange in neg. x-Richtung)
sowie bei x = 0 und y = r (oben in pos. x-Richtung)

P.S.: ich biege dann vielleicht auch die Speichen, falls nötig!