Das Uhrenparadoxon

[Daniel K.]

Wenn wir im System der Strecke in deren Mitte O ruht wissen wo Bob sich befindet wenn Amor seinen Pfeil abschießt ...

Wann fand das Signal A für Bob statt? Darum geht es. Wir brauchen eine Zahl und eine Begründung. Bob "sieht" das Signal A bei t = - 6 Jahren. Das wissen wir bereits.

Ja, und ich bin die Ruhe selber, Sonntagabend, der Himmel war blau und weiß der Schnee. Und ja, denke soweit sind zumindest wir zwei uns einig. Das Ereignis A liegt für Bob bei x = - 6 Lj und t = - 6 Jahren. Schön ...

[Daniel K.]

Die Formel ist also x(1 - v) = λ/2 ⇔ x = λ/2(1 - v) Jahre. Wow, nicht schlecht! Das habe ich mal ausgerechnet für verschiedene Relativgeschwindigkeiten v, dann mit meiner Grafik auf Plausibilität geprüft und es hat immer gut gepasst, abgesehen von kleinen Rundungsfehlern. Gefällt mir!

Ja, gefällt mir auch, also ich sehe das erstmal als gesichert an. Zumindest kommen wir beide da logisch hin. Nun wäre dann die Frage, wann und wo erreicht das Signal von A für Bob die hintere Uhr von Alice.

[Frau Holle]

Nun wäre dann die Frage, wann und wo erreicht das Signal von A für Bob die hintere Uhr von Alice.

Ich tippe auf t = -4,5 Jahre.
Teamwork: Du machst wieder die Herleitung und ich die Formel.

Obwohl... geometrisch ist das einfach zu lösen, wie ich sehe.
Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei bekannten Seiten und einer unbekannten:
- Hypothenuse l = 6 Lj Abstand zwischen Alice und hinterer Uhr
- Kathete = kontrahierter Abstand λ = 4,8 Lj
- Kathete τ = dialtierte Zeit (gesucht)

Somit also l² = τ² + λ² (Pythagoras)
⇒ τ² = l² - λ² = 6² - 4.8² = 36 - 23.04 = 12.96
⇒ τ = √12.96 = 3.6
Somit t = τ⋅γ = 3.6 * 1.25 = 4.5 Lj
q.e.d.

[Daniel K.]

Nun wäre dann die Frage, wann und wo erreicht das Signal von A für Bob die hintere Uhr von Alice.

Ich tippe auf t = - 4,5 Jahre. Teamwork: Du machst wieder die Herleitung und ich die Formel.

Gut, da ist noch Kaffee, wir wissen, vor 6 Jahren fand A statt, bei - 6 Lj, und A liegt mittig zwischen den beiden Uhren von Alice, also war vor 6 Jahren die zweite Uhr von Alice 2,4 Lj weiter links neben A. Sollte doch passen. Diese Uhr bewegt sich mit 0,6 c dem Signal von A welches mit c läuft entgegen und der Abstand zwischen Signal und Uhr war beim Ereignis ja 2,4 Lj. In 1,5 Jahren läuft das Signal 1,5 Lj auf die Uhr zu und die bewegt sich mit 0, 6 c in dieser Zeit eben 0,9 Lj weiter nach rechts, sind in Summe eben 1,5 Lj + 0,9 Lj = 2,4 Lj und Treffer.

Also Bob weiß, A war vor 6 Jahren und 1,5 Jahre später trifft das Signal auf die zweite Uhr von Alice, also vor 4,5 Jahren, wie Du getippt hast. Wenn ich mich nicht schwer irre, waren wir auch da schon mal.

Das ist in einer Entfernung von 7,5 Jahren von Bob, also bei x = - 7,5 Lj.

Das bedeutet doch aber, die zweite Uhr von Alice startet für Bob vor 4,5 Jahren. Bei t = 0 zeigt die zweite Uhr von Alice demnach doch schon 4,5 Jahre an. Ich muss mir noch mal die weiteren Werte aus dem Thread hier noch hinten ziehen, das mit den 10 Jahren und so. Bin immer noch der Meinung, da ist wo ein Wurm drin.

[Daniel K.]

So, ...

1. Es gibt zwei ruhende Uhren U1 und U3 im Abstand von 6 Lj.
2. Es gibt zwei bewegte Uhren U2 und U4 mit konstantem Tempo von 0,6 c.
3. U2 bewegt sich von U1 zu U3 (Hinweg).
4. U4 bewegt sich von U3 zu U1 (Rückweg).

Für 0,6 c Relativgeschwindigkeit ergibt sich der Lorenzfaktor zu γ = 1,25. Damit lässt sich gut rechnen. ...

U2 ist 6 Lj weit von U1 (=Bob) zu U3 gereist mit 0,6 c.

Für Bob mit U1 = U3 sind dann 6/0,6 = 10 Jahre vergangen.
Für Alice mit U2 sind 10/γ = 10/1,25 = 8 Jahre vergangen.

Eigentlich kann man auch U4 wirklich gleichzeitig mit U1, U2 und U3 auf 0 resetten. Dazu übernimmt U4 einfach diese 0 von derjenigen Uhr im Bob-System, an der sie gerade vorbei kommt. Das ist in doppelter Entfernung zu U1 wie U3, also in 2*6 = 12 Lj Entfernung zu Bob. U4 trifft dann genau wie U2 mit dem Zählerstand von 8 Jahren bei U3 ein und muss die Zeit nicht mal von U2 übernehmen, weil ja beide genau 8 Jahre drauf haben.

Alle Uhren laufen dann weiter und es wiederholt sich das gleiche Spiel mit den gleichen Zeiten. Wenn sich Alice instantan auf U4 gebeamt hat und mit U4 zu U1 zurückkehrt:

U4 ist 6 Lj weit von U3 zu U1 (=Bob) gereist mit 0,6 c.
Für Bob mit U1=U3 sind weitere 6/0,6 = 10 Jahre vergangen.
Für Alice mit U4 sind weitere 10/γ = 10/1,25 = 8 Jahre vergangen.

Insgesamt haben U1 = U3 dann 20 Jahre drauf und U4 hat 16 Jahre drauf.

Damit wir das mal hier haben.

[Daniel K.]

Also wenn ich das richtig sehe, fehlt und hier noch was an Uhren. Oder anders, die aktuelle Szene von uns, gibt das da nicht so wieder. Wir haben da nun länger geschraubt, dass die zweite Hälfte echt ein wenig aus dem Blick gefallen ist. Aber egal, wird schon, sind ja auf dem Weg, ich muss mir das von hier an noch mal weiter in Ruhe überlegen.

[Daniel K.]

Also wir brauchen da noch mehr Ereignisse, vor allem, wenn wir die Symmetrie weiter aufrechterhalten wollen. Bleiben wir mal bei Bob, dann kommt nach 8 Jahren die zweite Uhr von Alice bei ihm an. Und die erste Uhr von Alice mit Alice kommt nach 10 Jahren bei der zweiten Uhr von Bob an, wenn ich mich jetzt nicht verhaue.

Nun muss ja irgendwie auch was wieder zurück, also in die andere Richtung, ich sehe da ein weiteres System oder gar zwei und jedes mit Uhren auf uns zukommen. Ich muss das mal überschlafen.

[Frau Holle]

Also wenn ich das richtig sehe, fehlt und hier noch was an Uhren.

Nein, bloß nicht. Das passt schon.

Bleiben wir mal bei Bob, dann kommt nach 8 Jahren die zweite Uhr von Alice bei ihm an. Und die erste Uhr von Alice mit Alice kommt nach 10 Jahren bei der zweiten Uhr von Bob an, wenn ich mich jetzt nicht verhaue.

Ja stimmt. Die Systeme überlappen ab t=0. In der Grafik sieht man es:
Wenn Bob bis t=8 Jahre ruht, dann ist Alices zweite Uhr mit τ=6.4 Jahren bei ihm (auf der grünen ct'-Parallelen).
Wenn Bob bis t=10 Jahre ruht, dann ist Alice bei Bobs zweiter Uhr mit τ=8 Jahren (auf der grünen ct'-Achse).
Auf den ct-Achsen muss man halt die Punkte abzählen mangels Beschriftung, ein Punkt = 1 Lj.

[Frau Holle]

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Nur der Vollständigkeit halber für unser Beispiel
(ich mag keinen unerklärten Formelsalat):
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Die Einheit für das Licht sei c = 1.
Die Relativgeschwindigkeit ist v = 0,6c.
Der Lorentzfaktor γ ist 1/√(1-(v²/c²)) = 1,25.
Die Entfernung der Uhren im Ruhesystem ist l = 6 Lj.
Die kontrahierte Entfernung ist λ = l/γ = 6/1,25 = 4,8 Lj.
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So weit, so gut:

Nun wäre dann die Frage, wann und wo erreicht das Signal von A für Bob die hintere Uhr von Alice. ...wir wissen, vor 6 Jahren fand A statt, bei - 6 Lj, und A liegt mittig zwischen den beiden Uhren von Alice, also war vor 6 Jahren die zweite Uhr von Alice 2,4 Lj weiter links neben A. Sollte doch passen.

Bestätigt: Diese 6 Jahre gelten für das Signalereignis A, und wir haben für die Signallaufzeit zur vorderen Uhr allgemein gefunden:



Auch bei der hinteren Uhr geht es wieder um die Relativgeschwindigkeit der Uhr zum Signal aus Sicht von Bob. Die vordere Uhr ist vor dem Signal geflohen, die hintere Uhr kommt ihm mit v entgegen. Das Signal und die Uhr müssen also zusammen den halben kontrahierten Abstand λ/2 = 2,4 Lj zurücklegen:

Diese Uhr bewegt sich mit 0,6 c dem Signal von A welches mit c läuft entgegen und der Abstand zwischen Signal und Uhr war beim Ereignis ja 2,4 Lj. In 1,5 Jahren läuft das Signal 1,5 Lj auf die Uhr zu und die bewegt sich mit 0, 6 c in dieser Zeit eben 0,9 Lj weiter nach rechts, sind in Summe eben 1,5 Lj + 0,9 Lj = 2,4 Lj und Treffer.

Bestätigt: Das Signal läuft mit c und die Uhr mit v auf der Strecke λ/2 = 2,4 Lj. Zusammen überstreichen sie die Strecke mit c+v = 1+v = 1,6c. Das dauert λ/2 / (1+v) = 2,4 Lj / 1,6 = 1,5 Jahre, passt.

Also Bob weiß, A war vor 6 Jahren und 1,5 Jahre später trifft das Signal auf die zweite Uhr von Alice, also vor 4,5 Jahren, wie Du getippt hast.

Bestätigt: Die 6 Jahre Laufzeit vom Signal A zur vorderen Uhr hatten wir allgemein gefunden mit λ/2(1 - v) und die 1,5 Jahre zur hinteren Uhr jetzt allgemein mit λ/2(1+v). Da das Signal später als A bei der Uhr eintrifft müssen wir subtrahieren und erhalten: t = λ/2(1 - v) - λ/2(1+v) = 4,5 Jahre. Nach einigen Umformungen, die ich uns hier ersparen will, komme ich damit auf



Probe: t = λ⋅v/(1-v²) = (4,8 ⋅ 0,6) / (1 - 0,6²) = 2,88 / 0,64 = 4,5 Jahre, passt.

Das ist in einer Entfernung von 7,5 Jahren von Bob, also bei x = - 7,5 Lj.

Bestätigt: Mit v=0,6c muss die Uhr aus der Sicht von Bob dann noch 4,5 / 0,6 = 7,5 Lj bis t=0 zurücklegen.

Das bedeutet doch aber, die zweite Uhr von Alice startet für Bob vor 4,5 Jahren. Bei t = 0 zeigt die zweite Uhr von Alice demnach doch schon 4,5 Jahre an.

So ist es. Es zeigt sich deutlich die Relativität der Gleichzeitigkeit. Das meinte ich ja mit Bob schaut in die Zukunft von Alice. Denn er "sieht" ja ihre Uhr mit t' = 0 bereits bei t = -4,5 starten, was für Alice zwar gleichzeitig mit t' = t ist, aber nicht für Bob.

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Fazit bis hierher:

Diese Ergebnisse können wir getrost als gesichert ansehen, denn wir konnten sie logisch herleiten und zusätzlich finde ich alles in meiner Grafik für verschiedene Relativgeschwindigkeiten bestätigt. Die basiert ja nur auf der Geometrie der SRT, ganz unabhängig von den Berechnungen hier.
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[Daniel K.]

Also wenn ich das richtig sehe, fehlt und hier noch was an Uhren.

Nein, bloß nicht. Das passt schon.

Moin, und doch, leider schon, also wenn wir das eigentliche Uhrenparadoxon vom Anfang behandeln, dann muss da wo was an Uhr ja auch wieder zurück und an Bob vorbei, wir brauchen Carola und für die Symmetrie sogar noch Dave. Aber dazu später, ich schau mal in Ruhe an, was Du da schönes gerechnet hast, sieht doch schon richtig gut aus.

Fazit bis hierher:

Diese Ergebnisse können wir getrost als gesichert ansehen, denn wir konnten sie logisch herleiten und zusätzlich finde ich alles in meiner Grafik für verschiedene Relativgeschwindigkeiten bestätigt. Die basiert ja nur auf der Geometrie der SRT, ganz unabhängig von den Berechnungen hier.

Gefällt mir alles richtig gut, dann könnten wir uns an den Rückweg machen. Ich müsste dann Carola und Dave Bescheid sagen, ich werde mal sehen, wie wir das richtig gut machen und die Symmetrie halten, ich habe da vor Augen, Alice mit Bob einfach zu Spiegeln, zweimal, wobei das eine Mal nicht wichtig ist. Oder spiegeln und rückwärts abspielen?

Also wir brauchen auf jeden Fall Carola, die mit einer Uhr zurück zu Bob und an dem vorbei fliegt. Wir haben das:

Für Bob mit U1=U3 sind weitere 6/0,6 = 10 Jahre vergangen.
Für Alice mit U4 sind weitere 10/γ = 10/1,25 = 8 Jahre vergangen.

Lassen wir die üblen Namen der Uhren mal raus, ich will das noch mal in Latex hier mit Index und besser und so machen, aber wir haben hier ein Ereignis, wo Alice nach 8 Jahren auf die zweite Uhr von Bob trifft und die zweit 10 Jahre an, so weit doch richtig? Dann müsste hier auch Carola mal vorbeischneien, mit einer Uhr die schon 8 Jahre auf der Mütze hat und zurück zu Bob düsen. Dave lassen wir erstmal stecken. Ich bin da noch nicht ganz sicher, so vom Bühnenbild her, das mit dem Spiegeln und so finde ich gut, muss mir das aber in Ruhe mal mit Augen zu vorstellen. Auf jeden Fall gefällt mir das alles schon mal sehr gut, denke ich werde über den Winter auch mal eine Animation dazu schrauben, und toll wie die Deine zu der Szene passt. Ist doch schon mal echt was ...