Wurfparabel

[JuRo]

Bla..., Bla...

Warum sollte man sich bei dir die Mühe machen, so viele Wörter zu schreiben, ist Zeitverschwendung, da du SRT-Jünger bist

[Yukterez]

Zur Abwechslung mal wieder was zum Thema.

Ein stationärer Schalenbeobachter sitzt auf seiner Schale bei r0=2.5=1.25rs (genau zwischen dem Ereignishorizont und der Photonenshäre) und wirft einen Testpartikel in einem Abschusswinkel von φ0=30° und einer Geschwindigkeit von v0=0.95c (in seinem eigenen System gemessen). Dieser Partikel entkommt:



Jetzt wirft er einen zweiten Partikel im selben Winkel, aber etwas langsamer mit nur noch v0=0.90c; zur Eigenzeit t=5.164014GM/c³ befindet sich der Partikel r-rs=0.0007474GM/c² über dem Ereignishorizont des schwarzen Lochs. Zu der Zeit ist für einen feldfreien Beobachter bereits τ=32GM/c³ an Zeit vergangen:



Preisfrage: wie spät ist es zu diesem Ereignis beim Schalenbeobachter der den Partikel geworfen hat?

Die Zeit is abgelaufen. Die Uhrzeit auf der Schale des Beobachters war zum gefragten Ereignis τ·√(1-rs/r0) = 32/√5 = 14.3108 GM/c³.

Trostpreisfrage: wenn wir uns auf die Koordinate r1 = 3GM/c² begeben und ein Maßband zu unserem Schalenbeobachter auf r0 = 2.5GM/c² hinablassen, welche Markierung lesen wir an unserem Ende des Bandes ab wenn der Schalenbeobachter das Ende mit der 0 in der Hand hält? Hint: es ist nicht r1-r0, aber so etwas ähnliches.

√(1-rs/r),

[JuRo]

SRT und ART sind Schwachsinn
Es gibt keine sinnvolle Herleitung von . Es gibt nur die schwachsinnige Aussage vom Sektenführer V = V - v

[Yukterez]

wenn wir uns auf die Koordinate r1 = 3GM/c² begeben und ein Maßband zu unserem Schalenbeobachter auf r0 = 2.5GM/c² hinablassen, welche Markierung lesen wir an unserem Ende des Bandes ab wenn der Schalenbeobachter das Ende mit der 0 in der Hand hält?

Das Meterband zeigt dann 0.968551 GM/c² an:



Kopfnuss: wie viel würde das Band anzeigen wenn man es von der Photonensphäre (3GM/c²) bis zum Schwarzschildradius (2GM/c²) hinabließe?

,

[JuRo]

Eine analoge Überlegung - auf die H- und Z-Achse angewandt - liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit fortpflanzt:

Kopfnuss: Ist die Y-Achse (H - Achse) des Systems k (bewegt) genauso lang wie die Y-Achse des Systems K (unbewegt)



Wenn ja, wieso sieht Einstein dort kein V

PS:
Trostpreisfrage:
Sieht Einstein auf der Diagonalen zwischen der X-Achse und der Y-Achse im System k ein V oder ein

[Yukterez]

Kopfnuss: wie viel würde das Band anzeigen wenn man es von der Photonensphäre (3GM/c²) bis zum Schwarzschildradius (2GM/c²) hinabließe?

Man kann die Strecke auch am Schwarzschildparaboloid abmessen. Hier sehen wir z.B. dass die Strecke zwischen r1=2 und r2=24 nicht r2-r1=22 beträgt, sondern auf √(528)+ln(23+√(528)) = 26.8 GM/c² verlängert ist:


x=r, y=√{R²-r²}

Auf der x-Achse sind die Koordinatenabstände (r=U/2/π) in Einheiten von GM/c² angegeben, während in der Tat so viele stationäre Lineale dazwischen passen würden wie sie auf dem Paraboloid Platz hätten. Wie man sieht bildet ein schwarzes Loch tatsächlich ein Loch in der Raumzeit, was so viel heißt wie das im System eines Koordinatenbeobachters hinter den Koordinaten r<2GM/c² nichts ist; hier die Koordinaten bis 3GM/c² in der Draufsicht:


x=x, y=y. Gridabstand=GM/c²/5

Illustrierend,

[Yukterez]

Ich habe die alten Plots upgedatet und das Schwarzschild-Paraboloid für die Längenexpansion als Hintergrund hinzugefügt. In Bild 2 wo zum Vergleich nach Newton geplottet wurde sind die Abstände gleich lang (r1..r2=r2-r1), da Newton kein Paraboloid sondern eine Fläche über 2 Dimensionen spannt, während bei Einstein mehr Radius in einen Kreis passt als der Umfang durch 2π (r1..r2=∫{1/√[1-rs/r], r=r1..r2}). In allen drei Plots wird nach der selben Koordinatenzeit geplottet (at infinity ist es in jedem Szenario gleichzeitig gleich spät):



Wenn der Monitor zu klein oder der Computer zu langsam ist einfach das Bild anklicken um den Rest der Seite auszublenden oder downloaden und mit QuickTime ansehen.

Code: Alles auswählen

(* Schwarzschild Bewegungsgleichung || yukterez.net *)

G = 1; M = 1; c = 1; rs = 2 G M/c^2;
r0 = 15/10 rs; v0 = 999/1000c c; φ = 0; θ0 = 0; z = 1; tau = 30;
vr0 = v0 Sin[φ]/j*k; vθ0 = v0/r0 Cos[φ]/j;
d1 = z/5; d2 = d1; wp = 24;

j = Sqrt[1 - v0^2/c^2];
k = Sqrt[1 - rs/r0];

Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];

sol = NDSolve[{
    r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
    r'[0] == vr0,
    r[0] == r0,
    θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
    θ'[0] == vθ0,
    θ[0] == θ0,
    τ'[t] == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
    τ[0] == 0
    }, {r, θ, τ}, {t, 0, z},
   MaxSteps -> Infinity, Method -> {"StiffnessSwitching",
   Method -> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}},
   WorkingPrecision -> wp,
   InterpolationOrder -> All];

t[ξ_] :=
  Quiet[χ /.
    FindRoot[
     Evaluate[τ[χ] /. sol][[1]] - ξ, {χ, 0},
     WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ := Quiet[t[ι]];

x[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]
y[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]

s[text_] := Style[text, FontSize -> font];  font = 11;

(* proper time *) Do[Print[
  Rasterize[Grid[{{Show[Graphics[{
      {Black, Circle[{0, 0}, rs]},
      {Lighter[Gray], Dashed, Circle[{0, 0}, r0]}},
        Frame -> True, ImageSize -> 400, PlotRange -> 2 r0],
       Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x[т], y[т]}]}],
       ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, т},
        PlotStyle->{LightGray}],
       ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, т},
        ColorFunction -> Function[{x, y, η},
          Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-т + (η + d2))/d2, 1], 0]]],
        ColorFunctionScaling -> False]]},
     {Grid[{
        {" ", s["proper time"], " = ", s[N[т, 8]], s["GM/c³"]},
        {" ", s["coordinate time"], " = ", s[N[Evaluate[τ[т] /. sol][[1]], 8]], s["GM/c³"]},
        {" ", s["time dilation"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[т] /. sol][[1]], 8]], s["dτ/dt"]},
        {" ", s["angle"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[т] /. sol) 180/Pi][[1]], 8]], s["degree"]},
        {" ", s["radial distance"], " = ", s[N[Evaluate[r[т] /. sol][[1]], 8]], s["GM/c²"]},
        {" ", s["x-Axis"], " = ", s[N[x[т], 8]], s["GM/c²"]},
        {" ", s["y-Axis"], " = ", s[N[y[т], 8]], s["GM/c²"]}
        }, Alignment -> Left]}}, Alignment -> Left]]
  ], {т, T/300, T, T/300}]

(* coordinate time *) Do[Print[
  Rasterize[Grid[{{Show[Graphics[{
       {Black, Circle[{0, 0}, rs]},
      {Lighter[Gray], Dashed, Circle[{0, 0}, r0]}},
        Frame -> True, ImageSize -> 400, PlotRange -> 2 r0],
       Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x[Τ], y[Τ]}]}],
       ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, Τ},
       PlotStyle->{LightGray}],
       ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, Τ},
        ColorFunction ->
         Function[{x, y, η},
          Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-Τ + (η + d2))/d2, 1], 0]]],
        ColorFunctionScaling -> False]]},
     {Grid[{
        {" ", s["proper time"], " = ", s[N[Τ, 8]], s["GM/c³"]},
        {" ", s["coordinate time"], " = ", s[N[ι, 8]], s["GM/c³"]},
        {" ", s["time dilation"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[Τ] /. sol][[1]], 8]], s["dτ/dt"]},
        {" ", s["angle"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[Τ] /. sol) 180/Pi][[1]], 8]], s["degree"]},
        {" ", s["radial distance"], " = ", s[N[Evaluate[r[Τ] /. sol][[1]], 8]], s["GM/c²"]},
        {" ", s["x-Axis"], " = ", s[N[x[Τ], 8]], s["GM/c²"]},
        {" ", s["y-Axis"], " = ", s[N[y[Τ], 8]], s["GM/c²"]}
        }, Alignment -> Left]}}, Alignment -> Left]]
  ], {ι, tau/300, tau, tau/300

Der neue Code verwendet jetzt einen Stiffness Switcher mit Runge Kutta, was sich aber nur in der Nähe des EH auszahlt. Die weiteren Orbits können auch mit MachinePrecision und Method->Automatic in sehr viel kürzerer Zeit ausreichend genau berechnet werden.

Updatend,

[Yukterez]

Preisfrage: worin, mit Ausnahme des rot markierten Terms, unterscheidet sich die neutonische und die relativistische Bewegungsgleichung noch?



Damit wir Einstein und Newton auch schön auf einer Seite haben die expandierte Tiefe in der Schwarzschildmetrik:



im Vergleich zum neutonischen und euklidschen Äquivalent (unten) innerhalb des selben Umfangs:



,

[JuRo]

Bla..., Bla...

Ist die Y-Achse (H - Achse) des Systems k (bewegt) genauso lang wie die Y-Achse des Systems K (unbewegt)

[Yukterez]

Angenommen, wir beschleunigen Neutronen bis auf c und lassen sie dann auf die Sonne fallen. Werden die dann weiter beschleunigt oder nicht?

Na, du kleiner vollgekoteter Sabber-Lollie? Du bist doch Physiker und Mathematiker mit IQ=150, oder? Also, wie schnell wird ein Testpartikel, wenn man ihm eine Anfangsgeschwindigkeit von v0=0.999c verpasst und ihn dann aus einer Entfernung von r0=100GM/c² auf eine Masse beschleunigen lässt? Wie schnell ist er z.B. nach einer Strecke von 50GM/c², und wie schnell nach 98GM/c²? Du kleiner von oben bis unten angespiebener Alkoholiker (: Komm, mal uns ein paar Lollies, die Zahlen bekommst du sowieso nicht raus (:

,