Raum-Zeit-Kontinuum

[julian apostata]

Mach einfach ein Diagramm mit der normalen Formel

Das geht ganz einfach, weil ich dazu gar kein neues Diagramm zeichnen muss.

Bei der normalen Formel hab ich den Korrekturfaktor f~(1/1,39) weggelassen.

Damit nun das Diagramm wieder „normal“ wird, brauch ich jetzt nur eine zusätzliche amtliche y-Achse einzeichnen die im Vergleich zur julianischen y-Achse um den Faktor 1/f~1,39 gestreckt wird und so kann man auch den amtlichen Skalenfaktor heraus lesen.

Dass deine eigene Kurve in den Big Rip führt!

Erst mal eine einfache Verständnisfrage: Welcher Hubbleparameter errechnet sich aus Stammfunktion und 1. Zeitableitung?

Und noch etwas: Über das julianische a errechnen sich die Dichteparameter so:

a³/(a³+1) und 1/(a³+1)

Wie werden die Dichteparameter über das amtliche a berechnet?

Gegen welchen Wert konvergiert dieser Hubbleparameter?

[Yukterez]

Also der normale Hubbleparameter nach den Friedmann Gleichungen erreicht nie weniger als H0*√ΩΛ, im Sinne von wenn alles andere durch den großen Skalenfaktor fast durch unendlich dividiert wird, bleibt ΩΛ unzensiert unter der Wurzel bestehen:



Eine richtige Schubumkehr würde so aussehen:



Für das was du willst, brauchst du das hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Quintom_scenario. Es ist allerdings wirklich kein Spaß, die ungekürzten Formeln auf Raum und Zeit Achse zu plotten; das lässt meinen PC ganz schön heiss laufen. Ich mach das trotzdem mal, Momento.

[Yukterez]

Hier erstmal die ganze Formel für die Standardmodelle. Referenzen: Hogg, Lektion 4 & Lektion 10

t nach a geplottet:

Code: Alles auswählen

//      Mupad Syntax for t(a) -> FLRW, ΛCDM, DEOS, PHDE, QESS
//      Yukterez, 01.2013

//      DIGITS  := 22:

//      Input

        Mpc     := 3.085677581e22*m:

        H0      := 70000*m/Mpc/sek:
        c       := 299792458*m/sek:
        OM      := 0.29:
        OT      := 1.0023:
        OL      := 0.728:
        OR      := 0:
        a0      := 1.314e26*m:
        z       := a0/a-1:
        Z       := a0/r2-1:
        e0      := 8.8541878176204e-12*amp^2*sek^4/kg/m^3:
        h       := 6.62606957e-34*kg*m^2/sek:
        e       := 1.602176565e-19*amp*sek:
        alpha   := e^2/2/c/e0/h:
        w0      :=-1.1:
        w1      :=-0.2:
        wx      := w0*(z+1)^alpha:

        r1      := 1*m:         // Skalenfaktor am Anfang des Integrals

//      Dimensionsdefinition
        kg:=1: m:=1: sek:=1:

//      Hubblefrequenzen H als Funktion von Skalenfaktor a

        HF      := H0*sqrt(OR*(z+1)^4+OM*(z+1)^3+(1-OT)*(z+1)^2+OL):
        HL      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM))):
        HD      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*z/(1+z)))):
        HP      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
        H5      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(1+z)^(3*(1+w0*(1+z)^-alpha)))):

        Hf      := H0*sqrt(OR*(Z+1)^4+OM*(Z+1)^3+(1-OT)*(Z+1)^2+OL):
        Hl      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM))):
        Hd      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(Z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*Z/(1+Z)))):
        Hp      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
        Hv      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(1+Z)^(3*(1+w0*(1+Z)^-alpha)))):
      
//      Zeit t als Funktion von Skalenfaktor a

        tF     := (int(H0/((1+z)*HF), a=a0..r2))/Hf/(r2-a0):
        plotfunc2d(tF,    r2=r1..a0,
        Title="tF", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

        tL     := (int(H0/((1+z)*HL), a=a0..r2))/Hl/(r2-a0):
        plotfunc2d(tL,    r2=r1..a0,
        Title="tL", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

        tD     := (int(H0/((1+z)*HD), a=a0..r2))/Hd/(r2-a0):
        plotfunc2d(tD,    r2=r1..a0,
        Title="tD", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

        tP     := (int(H0/((1+z)*HP), a=a0..r2))/Hp/(r2-a0):
        plotfunc2d(tP,    r2=r1..a0,
        Title="tP", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

        t5     := (int(H0/((1+z)*H5), a=a0..r2))/Hv/(r2-a0):
        plotfunc2d(t5,    r2=r1..a0,
        Title="t5", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

//      Modellvergleich

        plotfunc2d(t1, tF, tL, tD, tP, t5,    r2=r1..a0,
        Title="t(a)", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

Hier deine beiden Formeln im Vergleich zum normalen FLRW Integral so wie es meiner Meinung nach aufgestellt gehört:

[julian apostata]

Also der normale Hubbleparameter nach den Friedmann Gleichungen erreicht nie weniger als H0*√ΩΛ

Richtig, auch bei mir nicht, wie kommst du dann auf einen Big rip???

Also noch mal zurück bis zu diesem Punkt und meiner Grafik darüber.

Dort ist definiert: w=H*√ΩΛ und zwar sind die Werte von H und √ΩΛ nicht so gemeint, dass es die heutigen Werte sind, sondern zu verschiedenen Zeiten unterscheiden sich diese Werte, deren Produkt Omega ist jedoch bei diesem Weltbild eine Konstante, die für alle Zeiten gleich bleibt.

Also H=w/√ΩΛ

und da √ΩΛ dem Grenzwert 1 entgegen strebt, konvergiert H gegen w, wird also ständig kleiner, unterschreitet w aber nie.

Obige Info hätte man auch ganz leicht aus der Grafik entnehmen können, wenn man nur die mittlere Gleichung (1.Zeitableitung) etwas genauer angeschaut hätte…

…warum also übst du Kritik, ohne die Zeichnung zu betrachten?

Eine richtige Schubumkehr würde so aussehen:

Falsch! Ich seh nur eine Umkehr der Expansion, nicht aber des Schubs (2.Zeitableitung)

Dort wird nur gebremst, und nicht gebremst und dann beschleunigt, wie in meiner Zeichnung.

Ich bring nochmal die Animation, die ich vor Jahren zu diesem Thema schon mal gebastelt habe.

Der rote Kreis ist der Hubbleradius, auf dem sich alle Objekte mit c von uns weg bewegen.

Die beiden äußeren Rosinen befinden sich am Anfang außerhalb des Kreises (v>c)

Wenn die Ampel umschaltet sind sie auf dem Kreis (v=c).

Danach, die Ampel wird grün, sind sie wieder außerhalb des Kreises (v>c)


Das kann man in etwa mit einem Autofahrer vergleichen, der bei 80 km/h eine rote Ampel sieht und auf 50 km/h runter bremst…

..wird die Ampel wieder grün, kann er wieder auf‘s Gaspedal treten.

[Yukterez]

Also der normale Hubbleparameter nach den Friedmann Gleichungen erreicht nie weniger als H0*√ΩΛ

Richtig, auch bei mir nicht, wie kommst du dann auf einen Big rip???

Da habe ich die Raum und Zeitachse falsch abgelesen, das war mein Fehler.

Obige Info hätte man auch ganz leicht aus der Grafik entnehmen können, wenn man nur die mittlere Gleichung (1.Zeitableitung) etwas genauer angeschaut hätte…

Dann widerrufe ich diese Missverständnis.

…warum also übst du Kritik, ohne die Zeichnung zu betrachten?

Ich fände es ja nicht schlecht, wenn man Raum zu Zeit auch ohne Integral plotten könnte, aber daß der Skalenfaktor bei t0 ungleich 1 ist, bringe ich mit keiner Redshiftformel auf einen Nenner.

Falsch! Ich seh nur eine Umkehr der Expansion, nicht aber des Schubs (2.Zeitableitung)

So gesehen hätten wir vor der Umkehr der Expansion die Umkehr des Schubs.

Das kann man in etwa mit einem Autofahrer vergleichen, der bei 80 km/h eine rote Ampel sieht und auf 50 km/h runter bremst…
..wird die Ampel wieder grün, kann er wieder auf‘s Gaspedal treten.

Ich verstehe, das wäre natürlich möglich. Leichter ersichtlich ist sowas aber auf einem H zu a Plot anstatt auf einem a zu t Plot abzulesen.

Das Angasen und Abbremsen habe ich derweil mal für verschiedene w-Parameter und verschiedene Modelle geplottet, die rosa Linie ist heute, die blaue H0:



H(a) oder H(t) ist m.M. dafür die beste Darstellung, weil H immer sagt, wie viele m/sek pro Meter dazukommen, darunter kann man sich am meisten vorstellen.

[julian apostata]

So sehen übrigens Stammfuktion (=Skalenfaktor=blau), 1.Zeitableitung(Geschwindigkeit der Expansion=rot) und 2. Zeitableitung (Beschleunigung=grün) aus.



Dazu gebe man im Funktionsplotter folgende 3 Formeln ein. Die Formeln werden natürlich wesentlich einfacher, wenn man die Zeit x über die Stammfunktion eliminiert, aber das geht bei diesem Plotter nicht.

sinh(1.5*x)^(2/3)
cosh(1.5*x)/sinh(1.5*x)^(1/3)
1.5*sinh(1.5*X)^(2/3)-0.5*cosh(1.5*X)^2/sinh(1.5*X)^(4/3)

http://www.mathe-fa.de/de

Das kann man in etwa mit einem Autofahrer vergleichen, der bei 80 km/h eine rote Ampel sieht und auf 50 km/h runter bremst…
..wird die Ampel wieder grün, kann er wieder auf‘s Gaspedal treten.

Ich verstehe, das wäre natürlich möglich. Leichter ersichtlich ist sowas aber auf einem H zu a Plot anstatt auf einem a zu t Plot abzulesen.

Okay, das werd ich mal morgen untersuchen, aber ich finde dass die Schubumkehr (grüne Linie) in obigem Diagramm ganz gut rüber kommt.

[Yukterez]

Ich weiss jetzt, woher der lästige Vorfaktor von 1.5 kommt. Man muss das Integral astrein notieren, und H(a') einmal für die Integrationsvariable, und einmal H(a) für den laufenden Skalenfaktor notieren, dann kann man statt durch 1.5*H0 zu dividieren an der Stelle H(a) einsetzen, und erhält den richtigen Wert:

-> stellen wir um auf ->

wobei -> ->

Dafür brauchen wir, zB im Friedmann Modell, sowohl



als auch



auf deutsch also:

Code: Alles auswählen

    //      Mupad Syntax for t(a) -> FLRW, ΛCDM, DEOS, PHDE, QESS
    //      Yukterez, 25.01.2013

    //      DIGITS  := 22:

    //      Input

            Mpc     := 3.085677581e22*m:
            H0      := 70000*m/Mpc/sek:
            c       := 299792458*m/sek:
            OM      := 0.29:
            OT      := 1.0023:
            OL      := 0.728:
            OR      := 0:
            a0      := 1.314e26*m:
            z       := a0/a-1:
            Z       := a0/r2-1:
            e0      := 8.8541878176204e-12*amp^2*sek^4/kg/m^3:
            h       := 6.62606957e-34*kg*m^2/sek:
            e       := 1.602176565e-19*amp*sek:
            alpha   := e^2/2/c/e0/h:
            w0      :=-1.1:
            w1      :=-0.2:
            wx      := w0*(z+1)^alpha:

            r1      := 1*m:         // Skalenfaktor am Anfang des Integrals

    //      Dimensionsdefinition
            kg:=1: m:=1: sek:=1:

    //      Hubblefrequenzen H als Funktion von Skalenfaktor a

            HF      := H0*sqrt(OR*(z+1)^4+OM*(z+1)^3+(1-OT)*(z+1)^2+OL):
            HL      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM))):
            HD      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*z/(1+z)))):
            HP      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
            H5      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(1+z)^(3*(1+w0*(1+z)^-alpha)))):

            Hf      := H0*sqrt(OR*(Z+1)^4+OM*(Z+1)^3+(1-OT)*(Z+1)^2+OL):
            Hl      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM))):
            Hd      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(Z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*Z/(1+Z)))):
            Hp      := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
            Hv      := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(1+Z)^(3*(1+w0*(1+Z)^-alpha)))):
         
    //      Zeit t als Funktion von Skalenfaktor a

            tF     := (int(H0/((1+z)*HF), a=a0..r2))/Hf/(r2-a0):
            plotfunc2d(tF,    r2=r1..a0,
            Title="tF", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

            tL     := (int(H0/((1+z)*HL), a=a0..r2))/Hl/(r2-a0):
            plotfunc2d(tL,    r2=r1..a0,
            Title="tL", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

            tD     := (int(H0/((1+z)*HD), a=a0..r2))/Hd/(r2-a0):
            plotfunc2d(tD,    r2=r1..a0,
            Title="tD", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

            tP     := (int(H0/((1+z)*HP), a=a0..r2))/Hp/(r2-a0):
            plotfunc2d(tP,    r2=r1..a0,
            Title="tP", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

            t5     := (int(H0/((1+z)*H5), a=a0..r2))/Hv/(r2-a0):
            plotfunc2d(t5,    r2=r1..a0,
            Title="t5", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

    //      Modellvergleich

            plotfunc2d(t1, tF, tL, tD, tP, t5,    r2=r1..a0,
            Title="t(a)", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);

Neuer Plot t nach a:



Ich habe das alte Posting, wo statt mit 1/H(a) = t(H) mit 1.5/H0 (dem Korrekturfaktor) multipliziert wurde, korrigiert. Die Kurven sind jetzt deutlicher ausgeprägt.

[julian apostata]

Dafür brauchen wir, zB im Friedmann Modell, sowohl



als auch

Einfach das da eingeben(und Farbe und Größe anpassen):

x^3/(x^3+1)
1/(x^3+1)
0.73
0.27

Auch hier kriegst du den amtlichen Skalenfaktor, wenn du die x-Achse so weit streckst, dass x=1 mit den 2.Schnittpunkten von blauer und roter Linie mit den grauen Geraden übereinstimmen.

http://www.mathe-fa.de/de

Um nun dein obiges Zitat beurteilen zu können müsste ich halt wissen, was die Bedeutung folgender Variablen sind.

ΩΛ+ΩM sind die beiden Dichteparameter, die sich in meinem einfachen Modell zu allen Zeiten zu ΩΛ+ΩM=1 addieren? Richtig?

Dann gilt bei mir:
ΩΛ=a³/(a³+1)
ΩM=1³/(a³+1)

Was sind dann bei dir ΩR und ΩT?

[Yukterez]

ΩR ist Omega Radiation, also das Verhältnis kritischer Strahlungsdruck zu Strahlungsdruck. Das ist aber so weit bei 0, daß es rein der Form halber mitgeführt wird. ΩT ist das Verhältnis kritische Gesamtdichte zu Gesamtdichte, und ist nicht zwangsläufig 1. Wenn jedoch 1-ΩM gemeint ist schreibt man manchmal ΩD, was nach meinem Verständnis ΩM-ΩB wäre. ΩM+Ωλ hingegen wäre -Ωk-1.


+ Ω Definitions

Ich hab mir diese x^3 mal angesehen, das ist zwar sehr schön vereinfacht, aber hier bringt das wenig, wenn wir modellunabängig plotten. Es gibt ja nicht nur

Ha := H0*sqrt(ΩR/(a/a0)^4+ΩM/(a/a0)^3+(1-ΩT)/(a/a0)^2+Ωλ)

wie in der FLRW sondern auch so Sachen wie

Ha := sqrt(ΩM*(1+z)^3+(1-ΩM)*(z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*z/(1+z)))
Ha := sqrt(ΩM*(1+z)^3+(1-ΩM)*(z+1)^(3*(1+wx)))
Ha := sqrt(ΩM*(1+z)^3+(1-ΩM)*(1+z)^(3*(1+w0*(1+z)^-alpha)))

Da kann man nicht einfach den Kehrwert der Hubblefrequenz als Zeit nehmen, wenn die manchmal mehr und dann wieder weniger und hernach wieder höher wird, sonst wäre in manchen Szenarien (Oszillation) am Ende weniger Zeit vergangen als vorher, was natürlich Unsinn ist.

[julian apostata]

Was sind dann bei dir ΩR und ΩT?

Gut, wenn ich die Beiden raus streiche, komme ich auf das selbe Ergebnis.



Bei meinem Modell geht es natürlich viel einfacher.

sinh(1.5*x)^(2/3)
cosh(1.5*x)/sinh(1.5*x)^(1/3)
1/tanh(1.5*x)

Der Quotient der 1.Zeitableitung durch Stammfunktion ist nämlich einfacher als Nenner und Zähler!



http://www.mathe-fa.de/de