Scheinbares? Garagenparadoxon --- reloaded and exploded

[Trigemina]

Ausgehend vom Linienelement der Minkowski-Metrik

ds²=c²*dt²-dx²-dy²-dz²

x=r*cos(θ+ω*t), y=r*sin(θ+ω*t)

ds²=(c²-r²*ω²)*dt²-dr²-r²*dθ²-dz²-2r²*ω*dt*dθ

ergibt sich mit einem 12er Zahnrad mit dem Radius von 1m und einer Umfangsgeschwindigkeit von v=0.8*c:

r:=1; c:=299792458; v:=0.8*c; phi:=evalf(Pi/6) = 0.5235987758rad (Zackenabstand)

omicron::= v/r = 0.2398339664e9 (Winkelgeschwindigkeit)
n:= v/evalf(2*Pi) = 0.3817076127e8 (Drehzahl)

dr:=r; dz:=0;

delta_tau:=evalf(solve((c^2-r^2*omicron^2)*dt^2-dr^2-r^2*phi^2-dz^2-2*r^2*omicron*dt*phi,dt));


Die Berührungspunkte der ineinander übergreifenden Zahnkränze weisen dort (und nur dort) eine Relativgeschwindigkeit von Null auf. So gesehen gibt es keinerlei Probleme wenn die für dieses Gendankenexperiment unendlich hohe Materialfestigkeit idealisierend vorausgesetzt wird.

Im System des rotierenden Zahnrades ergeben sich über zwei Lichtlaufzeitmessungen (Sagnac-Effekt) die beiden Lichtlaufzeiten für den zurückgelegten Winkel omicron = Pi/6:

dt1 := -0.3497418620e-8s; (dem rotierenden Zahkranz entgegen)
dt2 := 0.1125980759e-7s; (vom rotierenden Zahnkranz weg)

und die Eigenzeit des Zahnrades für das Zurücklegen des Winkels phi:

dtau:=(dt2 - dt1)/2; = 0.7378613105e-8s

Mit dem ermittelten dtau kann nun in der Minkowski-Metrik das Linienelement ds^2 bestimmt werden:

ds_square:=(c^2-r^2*omicron^2)*dtau^2-dr^2-r^2*phi^2-dz^2-2*r^2* omicron*dtau*phi; = -1.607160279

Somit ist die Metrik bestimmt und es kann in Abhängigkeit von phi und r vom Zahnradsystem ins Laborsystem transformiert werden. Für den Zackenabstand phi ergeben sich nach phi_Eigen aufgelöst:

solve(ds_square=(c^2-r^2*omicron^2)*dtau^2-dr^2-r^2*phi_Eigen^2-dz^2-2*r^2*omicron*dtau*phi_Eigen,phi_Eigen);

phi_Eigen1:= -4.062882872rad
phi_Eigen2:= 0.5235987758rad (identisch mit phi)

Als Kontrolle ergeben sich mit den eigesetzten Eigenwinkel wiederum die bei der Transformation unveränderlichen Radien -r und r:

solve(ds_square=(c^2-r_Eigen^2*omicron^2)*dtau^2-dr^2-r_Eigen^2*phi_Eigen^2-dz^2-2*r_Eigen^2* omicron*dtau*phi_Eigen,r_Eigen);

r:= -1 mit phi_Eigen1
r:= 1 mit phi_Eigen2


Über

x:= r*cos(phi_Eigen2);
y:= r*sin(phi_Eigen2);

können x und y bestimmt werden.



Im Laborsystem des stationär rotierenden Zahnrades (während bei der Zahnstange eine Translationsbewegung mit v vorliegt) greifen die beiden Zahnkränze in gleicher Weise (jedoch verbogen) an ihren Berührungspunkten. Die Zeit für den zurückgelegten Winkel phi beträgt dort:

dt:=evalf(Pi/(6*v)) = 0.2183171898e-8s

Der dabei zurückgelegte Lorentz-kontrahierte Weg ist

x:= v*dt/gamma := 0.3141592655m

und unterscheidet sich von der Eigenlänge im Zahnradsystem r*phi_Eigen2 = 0.5235987758m, ist jedoch gleich der Lorentz-kontrahierten Strecke der Zahnstange, während die Eigenzeit und Eigenlänge der Zahnstange für die zurückgelegte Strecke mit gamma:=1.666666666

dtau_Stange := dt*gamma = 0.3638619829e-8s

x_Eigen := v*dt*gamma = r*omicron*dtau_Stange; = 0.8726646257m

betragen. Jetzt ist ersichtlich, dass sich die Zahnkränze auch im Laborsystem vollständig umschliessen, so wie sie es in ihren Ruhesystemen ebenfalls tun. Die Physik darf sich ja durch die Wahl eines Bezugssystems insgesamt nicht ändern.

Anzumerken ist, dass hier keine visuellen Effekte berechnet worden sind, die durch das gleichzeitige Eintreffen von Lichtstrahlen auf der Linse oder Netzhaut bestimmt werden. Auch ist es nicht möglich eine algebraische Funktion der Zeit hinzuschreiben, was die Berechnung wesentlich erleichtert hätte und auch von mir so gewünscht worden wäre.

Gruss

[Sebastian Hauk]

Hallo,

und hier möchte ich mal zitieren was Einstein so über eine sich drehende Schreibe geschrieben hat:

"Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der mit der Scheibe bewegte Beobachter seinen Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom Galileischen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheinradius, so erfährt dieser, von K aus beurteilt, keine Verkürzung. Misst der Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Messergebnisse, so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl
π = 3,14 ..., sondern eine größere Zahl, während sich auf einer relativ zu K ruhenden Scheibe natürlich exakt π ergeben müsste."

Gruß

Sebastian

[Faber]

@Trigemina

Wenn Sie die Positionen der Speichenendpunkte nicht geschlossen angeben können, dann schlage ich vor, Sie posten ausgerechnete Werte. Folgende Werte verwende ich in der Animation:

Anzahl Speichen: N = 32
Radius des Rades: r = 5
Geschwindigkeit: v/c = 0.866
Zeitpunkte ab t = 0 in 40 Schritten mit Δt = 0.25
Benötigt werden 40 mal 32 Wertepaare:

x_k(t) = ???, k = 0,1,...,31
y_k(t) = ???, k = 0,1,...,31

Vier Dezimalstellen reichen aus. Werte z.B. mit Leerzeichen und/oder Zeilenvorschub oder sonstwie geeignet trennen. Reihenfolge der Werte bitte angeben.

Gruß
Faber

[Faber]

Faber hat herausgefunden, dass die SRT andere Vorhersagen macht als die Newtonsche Mechanik.

Das war ja nichts neues. Das musste ich nicht erst noch herausfinden.

Gezeigt habe ich, dass die SRT widersprüchliche Voraussagen macht.

Stellen Sie sich folgende Variante vor:

Wir entfernen von den N Zähnen des Zahnrades alle bis auf einen. Diesen feilen wir, so dass er ganz schmal wird . Bei der Zahnschiene füllen wir alle Vertiefungen bis auf jede N-te mit Beton aus.

Die Geschwindigkeit sei v = 0,866c und γ = 2.

Nun passiert im Ruhesystem des Fahrzeugs:

Die Schiene erscheint auf die Hälfte verkürzt. Der verbleibende Zahn des Zahnrades trifft jede zweite nicht ausgefüllte Vertiefung in der Schiene.

Und im Ruhesystem der Schiene:

Das Rad erscheint auf die Hälfte verkürzt. Der verbleibende Zahn trifft abwechselnd auf Beton und auf eine nicht ausgefüllte Vertiefung in der Schiene.

Das ist ein Widerspruch innerhalb der SRT.

Gruß
Faber

[Faber]

Die abgefeilten Zähne treffen der Reihe nach auf die ausgefüllten Lücken, jeweils Nichtzahn auf Nichtlücke. Jedes Nte Mal ist der übrige Zahn dran und trifft dann auf eine Lücke. In beiden Inertialsystemen.

Da ist kein Widerspruch vorhanden.

Doch! Schauen Sie sich die Animation (Bild 1) an.

Das Rad hat 32 Zähne. Im Bild oben bewegt sich das Rad innerhalb einer Umdrehung an 64 Schienenzähnen vorbei (zwei Schienenzähne pro Zahnradzahn, weil die Schiene kontrahiert ist). Im Bild unten bewegt sich das Rad innerhalb einer Umdrehung entlang 16 Schienenzähnen (zwei Zahnradzähne pro Schienenzahn, weil das Rad kontrahiert ist).

Gruß
Faber

[Faber]

Aber das kann ja gar nicht klappen wie beschrieben. In den Bildern sind ja gar keine abgefeilten Zähne und ausgefüllten Lücken.

Die müssen Sie sich hinzu- bzw. hinwegdenken.

Jedenfalls ist ihr Einwand aus den beschriebenen Gründen unzutreffend.

Gruß
Faber

[Faber]

Welcher Einwand denn?

Jener: M_Hammer_Kruse » Do 16. Apr 2009, 19:45

Gruß
Faber

[Faber]

Ja, aber da sind doch keine abgefeilten Zähne etc. in der Animation. Oder nicht? Wieso soll das denn nicht zutreffen?

Gruß, mike

Siehe Faber » Do 16. Apr 2009, 19:32 und Faber » Do 16. Apr 2009, 20:10.

Gruß
Faber

[Faber]

dann habe ich bislang wohl nix verstanden von der Relativitätstheorie.

DIe Zahnradbahn läuft immer noch nicht. Und sie liefert unterschiedliche Ergebnisse für die beiden Beobachter. Wieviele Zähne zählt ein unabhängiger Schiedsrichter am Ende zwischen zwei lila Kügelchen?



Gruß
Faber

[Faber]

1) Warum nimmst du im oberen Bild bein Zahnrad, das zur Zahnschiene passt?

Nehme ich doch, und zwar in beiden Bildern.

Das Zahnrad passt bei niedrigen Geschwindigkeiten bzw. bei v = 0 exakt zur Zahnschiene. Im Bild oben ist die Zahnschiene bewegt und erscheint daher lorentzkontrahiert. Im Bild unten erscheint umgekehrt das bewegte Fahrzeug lorentzkontrahiert. Das Fahrzeug mit Zahnrad in Eigenlänge (oberes Bild) passt zur Zahnschiene in Eigenlänge (unteres Bild).

2) Die Relativgeschwindigkeit zwischen den unteren Zähnen des Zahnrades und der Schiene ist offensichtlich Null. Es ist also unsinn, anzunehmen, sie würden unterschiedlicher Längenkontraktion unterliegen.

In der Tat, so ist es. Das Problem liegt beim Rad. Ich hatte ja bereits zwei Varianten gezeigt, bei der die unteren Zähne des Rades mit denen der Zahnschiene übereinstimmen. Sie hatten mir andererseits bestätigt, dass die Zähne des Rades aus Symmetriegründen alle gleich breit sein müssen. Wenn aber die Zähne des Rades alle gleich breit sein müssen, dann gibt es keine andere Lösung als die im Bild gezeigte. Da kann keine Rechnung von wem auch immer helfen.

DIe Zahnradbahn läuft immer noch nicht.

Man sieht doch auf dem ersten Blick, dass die Bilder falsch sein müssen.

Meine vollste Zustimmung. Die SRT erlaubt hier nur solche Bilder, die offenbar Unmögliches zeigen.

Gruß
Faber