Zur Bijektivität der Lorentztransformation

[Gluon]

Ein Vorschlag:

Sie könnten die notwendigen Schritte im gestrichenen System durch Extrapolation gewinnen, indem Sie im ersten Schritt eine Tabelle von (t',x') Dubletts berechnen und dann im zweiten Schritt die nötigen x' zu den gewünschten t'-Werten durch Extrapolation gewinnen.

Gruß,
Gluon

[Faber]

Das hier ...



... sieht irgendwie auch nach einem Bijektivitätsproblem oder einem verwandten Problem aus. Weitere Infos zum Bild, das auf Anregung von Herrn Maurer entstand, hier.

Gruß
Faber

[Faber]

TwoBalloonsAnimation-c661.gif (1.14 MiB) 5736-mal betrachtet

Das Bild zeigt in S einen dunkelgrauen Ballon mit dem konstanten Radius 0,75m, einen dunkelgrünen Ballon mit dem von 0,00m bis 0,75m linear mit t wachsenden Radius und eine hellgrüne Lichtsphäre, die sich immer weiter ausbreitet, während der dunkelgrüne Ballon sein Wachstum bei t = 1m/c einstellt, so dass er ab diesem Zeitpunkt t mit dem dunkelgrauen Ballon identisch ist.

Die Lorentztransformation bildet die Lichtsphäre wiederum auf eine Lichtsphäre ab. Dabei ändert sich zwar die Verteilung der Photonen auf der Oberfläche, Lichtsphäre bleibt aber Lichtsphäre.

Der gänzlich unbewegte graue Ballon erscheint in S' erwartungsgemäß in x'-Richtung kontrahiert und in negative x'-Richtung wandernd.

Der wachsende farbige Ballon erscheint während der Wachstumsphase als eine Ellipse, deren Exzentrizität mit zunehmender Zeit kleiner wird. Nachdem das Wachstum beendet ist, kommt eine Übergangsphase, während der der farbige Ballon seine Form an die des grauen Ballons anpasst. Dies geschieht sukzessive von rechts nach links. Offenbar ist die Information darüber, dass der Ballon sein Wachstum beendet hat, an Orten weiter links im Bild erst später verfügbar. Nach der Übergangsphase sind die beiden Ballone schließlich auch in S' identisch.

Im Bild sind diejenigen Atome der Ballone, deren x-Wert am kleinsten ist, blau markiert und als P1 und P2 bezeichnet. Während der Übergangsphase, die von ta = 1m/c bis tb = 2m/c dauert, sind P1 und P2 in S identisch, in S' hingegen nicht. Während der Übergangsphase werden die in S identischen Ereignisse (p1x,p1y,p1z,t) und (p2x,p2y,p2z,t) auf in S' unterschiedliche Ereignisse (p1x',p1y',p1z',t') und (p2x',p2y',p2z',t') abgebildet.

Gruß
Faber

[Ernst]

Offenbar ist die Information darüber, dass der Ballon sein Wachstum beendet hat, an Orten weiter links im Bild erst später verfügbar. Nach der Übergangsphase sind die beiden Ballone schließlich auch in S' identisch.

Der Ablauf wird meines Erachtens dadurch verfälscht, daß die Beschleunigung abrupt abgebrochen wird. Dadurch wird ein dynamischer Zustand quasi eingefroren. Wie ich im anderen Thread bereits vorgeschlagen habe, sollte zunächst die Geschwindigkeit stetig steigen und ab einem Zeitunkt dann stetig auf Null zurückfallen. Dann hätte man den statischen Zustand.

Das könnte man zuerst auch mit der Lichtsphäre tun, indem man ab einem bestimmten Zeitpunkt deren Geschwindigkeit von c auf Null zurückfährt. Da wird sich abschließend eine Ellipse ergeben. Ich nehme aber an, daß dann die Punkte stetig verteilt sind. Man hätte so einen starren Körper erzeugt.

Gruß
Ernst

[Faber]

Offenbar ist die Information darüber, dass der Ballon sein Wachstum beendet hat, an Orten weiter links im Bild erst später verfügbar. Nach der Übergangsphase sind die beiden Ballone schließlich auch in S' identisch.

Der Ablauf wird meines Erachtens dadurch verfälscht, daß die Beschleunigung abrupt abgebrochen wird. Dadurch wird ein dynamischer Zustand quasi eingefroren. Wie ich im anderen Thread bereits vorgeschlagen habe, sollte zunächst die Geschwindigkeit stetig steigen und ab einem Zeitunkt dann stetig auf Null zurückfallen. Dann hätte man den statischen Zustand.

Das könnte man zuerst auch mit der Lichtsphäre tun, indem man ab einem bestimmten Zeitpunkt deren Geschwindigkeit von c auf Null zurückfährt. Da wird sich abschließend eine Ellipse ergeben. Ich nehme aber an, daß dann die Punkte stetig verteilt sind. Man hätte so einen starren Körper erzeugt.

Die Aufblähgeschwindindigkeit ist hier konstant und springt dann auf 0. Ich könnte einen weichen Übergang einbauen. Der darf aber beliebig kurz sein. Die Schnelligkeit darf nicht beliebig hoch sein, die Beschleunigung aber schon. Wenn der Übergang geeignet kurz ist, wird er im Bild nicht zu bemerken sein und die Effekte bleiben dieselben.

Gruß
Faber

[Ernst]

Die Aufblähgeschwindindigkeit ist hier konstant und springt dann auf 0. Ich könnte einen weichen Übergang einbauen. Der darf aber beliebig kurz sein. Die Schnelligkeit darf nicht beliebig hoch sein, die Beschleunigung aber schon. Wenn der Übergang geeignet kurz ist, wird er im Bild nicht zu bemerken sein und die Effekte bleiben dieselben.

Ich bin mir da nicht so sicher beim Sprung auf Null. Da wird dynamisch nur unterbrochen. Ein weicher Übergang wäre korrekt.

Auch eine solche Animation für die Lichtsphäre mit c, welche ihre Geschwindigkeit auf Null abbaut, wäre sehr interessant. Ich denke, daß die Punkte der dann aus dem Kreis entstehenden Ellipse wieder symmetrisch werden. Die Unsymmetrie bei c wäre dann als dynamischer Effekt vergleichbar dem Dopplereffekt zu deuten.

Gruß
Ernst

[Faber]

Die Aufblähgeschwindindigkeit ist hier konstant und springt dann auf 0. Ich könnte einen weichen Übergang einbauen. Der darf aber beliebig kurz sein. Die Schnelligkeit darf nicht beliebig hoch sein, die Beschleunigung aber schon. Wenn der Übergang geeignet kurz ist, wird er im Bild nicht zu bemerken sein und die Effekte bleiben dieselben.

Ich bin mir da nicht so sicher beim Sprung auf Null. Da wird dynamisch nur unterbrochen. Ein weicher Übergang wäre korrekt.

Die Radiusfunktion r(t) ist stetig. Sie wächst im Intervall t aus [0;1m/c] von 0m bis 0,75m an und verharrt ab t = 1m/c bei 0,75m. Alle Atome im Bild bewegen sich stetig. Stellen Sie sich nun vor, ich würde in einer ε-Umgebung um den Knick bei t = 1m/c den Knick abrunden. Im Bild wäre der Unterschied gar nicht erkennbar.

Die Lorentztransformation transformiert Ereignisse (x;y;z;t) nach (x';y';z';t'). Die Transformation der Übergangsphase darf nur von den Urbildern der Übergangsphase abhängen und nicht von der Vorgeschichte der Szene, nicht davon, wie es zu der Konstellation kam, die transformiert wird. Ob das Auto von links in die Garageneinfahrt abbiegt oder von rechts, ob es eine scharfe Kurve fährt, oder anhält und von vier starken Männern gedreht wird und neu beschleunigen muss, das darf keinen Einfluss auf die Ereignisse dann später in der zu kurzen Garage haben.

Gruß
Faber

P.S.:

Auch eine solche Animation für die Lichtsphäre mit c, welche ihre Geschwindigkeit auf Null abbaut, wäre sehr interessant. Ich denke, daß die Punkte der dann aus dem Kreis entstehenden Ellipse wieder symmetrisch werden. Die Unsymmetrie bei c wäre dann als dynamischer Effekt vergleichbar dem Dopplereffekt zu deuten.

Ich habe zum Spaß folgende Variante ausprobiert:

r(t) = 0,75 * sin(0,5π ct/1m)

für t aus [0;1m/c] und ab dann konstant r(t) = 0,75. Anstelle eines linearen Anstiegs des Radius mit folgendem Knick ergibt das einen Anstieg entlang der ersten Viertelperiode der Sinusfunktion mit einem absolut glatten Übergang in den konstanten Abschnitt. Der Ballon breitet sich dabei gegen Anfang mit Überlichtgeschwindigkeit aus, die Lichtsphäre muss ihn erst einholen. Abgesehen davon ergibt sich für die Übergangsphase t aus [1m/c ; 2m/c] so ziemlich das oben gezeigte Bild: Die Übergangsphase zeigt dieselbe `schizophrene Ellipse', die ihre Exzentrizität sukzessive von rechts nach links ändert.

[Ernst]

Die Lorentztransformation transformiert Ereignisse (x;y;z;t) nach (x';y';z';t'). Die Transformation der Übergangsphase darf nur von den Urbildern der Übergangsphase abhängen und nicht von der Vorgeschichte der Szene, nicht davon, wie es zu der Konstellation kam, die transformiert wird.

Ja richtig. Aber die Konstellation am Ende beinhaltet noch eine Aufblähgeschwindigkeit. Mit dem Abbruch wird ein Zustand eingefroren, welcher tatsächlich noch eine Geschwindigkeit beinhaltet. Sozusagen gleichsam dem Schnappschuß eines fahrenden Autos, dessen WM_Fahne noch im Fahrtwind weht. Im Stand würde die Fahne herabhängen.
Der weiche Übergang zur konstanten Geschwindigkeit ist m.Es. nicht so wichtig. Wichtig wäre der Rückgang auf v=Null.

Ich wäre sehr neugierig, nicht so sehr auf den Ballon, sondern auf die Lichtsphäre, die bei c kugelig bleibt; und deren Verhalten, wenn man sie ab einem bestimmten Zeitpunkt stetig von c auf Null abbremst. Sehr neugierig

Ich vermute, daß sich dadurch die Asymmetrie der Punkte auf der Lichtsphäre erklärt. Da nach der Abbremsung ein Starrkörper vorliegt, vermute ich, daß die Punkte dann wieder symmetrisch liegen.

Gruß
Ernst

[Faber]

Die Lorentztransformation transformiert Ereignisse (x;y;z;t) nach (x';y';z';t'). Die Transformation der Übergangsphase darf nur von den Urbildern der Übergangsphase abhängen und nicht von der Vorgeschichte der Szene, nicht davon, wie es zu der Konstellation kam, die transformiert wird.

Ja richtig. Aber die Konstellation am Ende beinhaltet noch eine Aufblähgeschwindigkeit. Mit dem Abbruch wird ein Zustand eingefroren, welcher tatsächlich noch eine Geschwindigkeit beinhaltet. Sozusagen gleichsam dem Schnappschuß eines fahrenden Autos, dessen WM_Fahne noch im Fahrtwind weht. Im Stand würde die Fahne herabhängen.

Der weiche Übergang zur konstanten Geschwindigkeit ist m.Es. nicht so wichtig. Wichtig wäre der Rückgang auf v=Null.

Ich wäre sehr neugierig, nicht so sehr auf den Ballon, sondern auf die Lichtsphäre, die bei c kugelig bleibt; und deren Verhalten, wenn man sie ab einem bestimmten Zeitpunkt stetig von c auf Null abbremst. Sehr neugierig

Ich vermute, daß sich dadurch die Asymmetrie der Punkte auf der Lichtsphäre erklärt. Da nach der Abbremsung ein Starrkörper vorliegt, vermute ich, daß die Punkte dann wieder symmetrisch liegen.

Da Sie so neugierig sind, unten ein Bild, bei dem die Aufblähgeschwindigkeit des Ballons mit w = c beginnt. Die Radiusfunktion r(t) folgt einer ersten Sinus-Viertelperiode und geht glatt in die Konstante über:

Code: Alles auswählen

               final double rMax = 1 / (0.5 * Math.PI); // 0,6366
               if (t < 1/c)
               {
                  return rMax * Math.sin(0.5 * Math.PI * c * t);
               }
               return rMax;


Die Ableitung ist w(t) = dr(t)/dt = c * Math.cos(0.5 * Math.PI * c * t). Die Ableitung an der Stelle t = 0 ist c. Die Ableitung an der Stelle t = 1/c ist 0.

TwoBalloonsAnimation-c661-Ernst.gif (1.13 MiB) 5587-mal betrachtet

Das Bild zeigt, wie der grüne Ballon mit w = c startet und wie er ganz weich auf dem grauen Ballon landet.

Ab ct = 1m beginnt in S' die Übergangsphase, die sich ganz gleich gestaltet, unabhängig davon, ob r(t) glatt ist oder einen Knick enthält. Oben hatte ich ja bereits berichtet, dass das selbst mit w(t = 0) > c ganz gleich aussieht.

Gruß
Faber

[Ernst]

Da Sie so neugierig sind, unten ein Bild, bei dem die Aufblähgeschwindigkeit des Ballons mit w = c beginnt. Die Radiusfunktion r(t) folgt einer ersten Sinus-Viertelperiode und geht glatt in die Konstante über

Außerordentlichen Dank.
Es ist nun deutlich erkennbar, daß die Unsymmetrie der Punkte (der "Dichte") ein rein dynamischer Effekt ist, welcher bei Annäherung an eine statische Sphäre (vergleichbar einem starren Körper) verschwindet, wobei die "Dichte" dann wieder isotrop ist.
Damit ist die letzte Hürde beim Nachweis der Konsistenz der SRT bzgl. des Erhalts der Kugelform einer Lichtspäre ausgeräumt. Ich denke, damit auch die Vorbehalte von Harald.

Nochmals Danke
Ernst