von Trigemina » So 22. Feb 2009, 15:00
Hallo Sebastian und Bruno
Wie nicht anders zu erwarten wird die Lichtablenkung mit der klassischen Näherung einer asymptotisch flachen Raumzeit unterschätzt. Im Bereich der Sonnenoberfläche kann sie dennoch bedenkenlos angewendet werden. Hier die Werte:
1.7509498 Bogensekunden mit der klassischen Näherung
1.7509572 Bogensekunden mit der Schwarzschild-Metrik
Im Bereich der Oberfläche eines Neutronensterns mit der 1.4fachen Sonnenmasse und einem Radius von 20 Kilometern ergibt sich jedoch ein beträchtlicher Unterschied:
23.6962 Winkelgrade mit der klassischen Näherung
29.8737 Winkelgrade mit der Schwarzschild-Metrik
Der Formalismus ist für beide Berechnungen identisch, weshalb ich für die Lichtablenkung nur den Maple In- und Output am Neutronenstern aufliste.
Die gravitative Zeitdilatation eines 100 Meter hohen Turmes auf dem Neutronenstern pro Sekunde:
-0.0005144s asymptotisch flache Raumzeit (klassische Näherung)
-0.0006481s Schwarzschild-Metrik
Gruss
Input:
# Lichtablenkung an einem Neutronenstern:
restart; Digits:=20;
m:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*m/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r:=20000;
# klassische Näherung:
d_Rad:=4*G*m/(r*c^2); d_Grad:=evalf(d_Rad*180/Pi);
# Schwarzschild-Metrik:
unassign('r');
with (linalg):
g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-2*a/r),r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-2*a/r)),r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(r,r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=20000..1e50)]);
r:=20000;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S:=eval(x_mu_S[2,1]);
d_Rad:=-2*(r_S/t_S+1);
d_Grad:=evalf(d_Rad*180/Pi);
Output:
Digits := 20
m := .27846e31
G := .667428e-10
c := 299792458
a := 2067.8823919680914218
theta := 0
phi := 0
r_s := 4135.7647839361828436
r := 20000
d_Rad := .41357647839361828436
d_Grad := 23.696186717837807625
g_ik := matrix([[.10000000000000000000e51, 0, 0, 0], [0, -.10000000000000000000e51, 0, 0], [0, 0, -.50000000000000000000e100, 0], [0, 0, 0, 0]])
r := 20000
x_mu := matrix([[.89062436571384619727], [1.1228078171861915202], [0], [0]])
x_mu_S := matrix([[.89062436571384619727e50], [-.11228078171861915202e51], [0], [0]])
t_S := .89062436571384619727e50
r_S := -.11228078171861915202e51
d_Rad := .5213947886688401554
d_Grad := 29.873720850840017993
>
Input:
# gravitative Zeitdilatation:
restart; Digits:=20;
m:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*m/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=20000;r2:=20100;
dE_pot:=m*G*(-1/r1+1/r2)/c^2;
# Schwarzschild-Metrik:
with (linalg):
g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-2*a/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-2*a/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);
r:=20000;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);
r:=20100;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);
dt:=(t_S1-t_S2)/(t_S1+t_S2)*2;
Output:
Digits := 20
m := .27846e31
G := .667428e-10
c := 299792458
a := 2067.8823919680914218
theta := 0
phi := 0
r_s := 4135.7647839361828436
r1 := 20000
r2 := 20100
dE_pot := -.51439860496718692085e-3
g_ik := matrix([[89.091356865936533, 0, 0, 0], [0, -112.244337742589751, 0, 0], [0, 0, -2005000, 0], [0, 0, 0, 0]])
r := 20000
x_mu := matrix([[.89062436571384619727], [1.1228078171861915202], [0], [0]])
x_mu_S := matrix([[79.346933199310641142], [-126.02881985226685013], [0], [0]])
t_S1 := 79.346933199310641142
r_S1 := -126.02881985226685013
r := 20100
x_mu := matrix([[.89120174933239736750], [1.1220803827518334848], [0], [0]])
x_mu_S := matrix([[79.398373089319529222], [-125.94716945593117707], [0], [0]])
t_S2 := 79.398373089319529222
r_S2 := -125.94716945593117707
dt := -.64808076801162547460e-3
>