Nicht-Transitivität der Lorentztransformation

[contravariant]

"Die Transitivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y und y R z stets x R z folgt. Man nennt R dann transitiv."
Also: die Eigenschaft transitiv bezieht sich auf 3 Objekte: x,y,z

Es ging somit darum, diese Regel auf drei LTs anzuwenden und zu gucken, ob das funzt. Das Resultat war:

xRy: LT_v=0,1c # LT_v1=0,9c, kann angewendet werden, d.h. die beiden LTs stehen in Relation zueinander.

yRz: LT_v1=0,9c # LT_v2=0,2c, kann angewendet werden, d.h. die beiden LTs stehen in Relation zueinander.

xRz: LT_v=0,1c # LT_v2=0,2c, kann NICHT angewendet werden, da es sich um eine Hintereinanderausführung von LTs handelt, so dass die mittlere von dreien nicht übersprungen werden darf.

Somit gilt dann für die Lorentz-Transformation die Regel der "Transitivität" nicht.

Was du hierbei konsequent ignorierst, dass x R y entweder wahr oder falsch ist. Transitivität heißt dann, aus x R y wahr und y R z wahr folgt immer x R z wahr. Die Verkettung von zwei LT ist aber weder wahr noch falsch, sondern einfach eine andere LT. Das hat mit einer Relation nix zu tun.

[Gerhard Kemme]

Nach meiner Kenntnis bilden die geradlinigen Lorentz-Transformationen, wenn man von den grundsätzlichen Problemen absieht, eine Gruppe.

Falls du mit "geradlinigen LT" die Boosts, also Bewegung entlang der Koordinatenachsen, meinst, dann ist das falsch. Erst die Boosts zusammen mit den Raumdrehungen bilden eine Gruppe.

Am besten man prüft die Definition einer Gruppe ab:

G1 (Abgeschlossenheit):

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v=1/2c und v1=1/3c

wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.

V2=(v+v1)/(1+v*v1/c²)

v2=(1/2c+1/3c)/(1+1/2c*1/3c/c²)=5/6c/(1+1/6)=5/6c:7/6=5/7c

Somit gilt:

LT_1/2c # LT_1/3c = LT_5/7c, d.h. LT_5/7c € G

und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit", da wiederum eine LT mit konkreter Geschwindigkeit als Resultat bestimmt werden konnte.

G2 (Assoziativgesetz):

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v0 = 1/3c, v1 = 1/2c und v2 = 4/7c

das Assoziativgesetz:

LT_1/3c # (LT_1/2c # LT_4/7c) = (LT_1/3c # LT_1/2c) # LT_4/7c

erfüllt.

v12 = (v1 + v2)/(1 + v1*v2/c²)

v12 = (1/2c + 4/7c)/(1 + 1/2c*4/7c/c²) = 5/6c

v012 = (v0 + v12)/(1 + v0*v12/c²)

v012 = (1/3c + 5/6c)/(1 + 1/3c*5/6c/c²) = 21/23c

v01 = (v0 + v1)/(1 + v0*v1/c²)

v01 = (1/3c + 1/2c)/(1 + 1/3c*1/2c/c²) = 5/7

v012 = (v01 + v2)/(1 + v01*v2/c²)

v012 = (5/7c + 4/7c)/(1 + 5/7c*4/7c/c²) = 21/23

Also gilt:

LT_1/3c # (LT_1/2c # LT_4/7c) = LT_21/23

und

(LT_1/3c # LT_1/2c) # LT_4/7c = LT_21/23


G3 (Neutrales Element) :

LT_0 # LT_v = LT_v # LT_0 = LT_v


G4 (Inverses Element) :

LT_(-v) # LT_v = LT_0

Somit erfüllt die Lorentz-Transformation - ohne Drehungen - mathematisch formal die Bedingungen für eine Gruppe, wenn man von prinzipiellen Problemen absieht.

mfg

[Gerhard Kemme]

Was du hierbei konsequent ignorierst, dass x R y entweder wahr oder falsch ist. Transitivität heißt dann, aus x R y wahr und y R z wahr folgt immer x R z wahr. Die Verkettung von zwei LT ist aber weder wahr noch falsch, sondern einfach eine andere LT. Das hat mit einer Relation nix zu tun.

Dies war anfangs und zwischendurch von mir erwähnt worden: Die Relation lautet: "Ist die Relativistische Addition anwendbar?"

Sie war zwischen LT_v und LT_v1 anwendbar.

Sie war zwischen LT_v1 und LT_v2 anwendbar.

Sie war zwischen LT_v und LT_v2 NICHT anwendbar.

Insofern gilt für die LT die Nichttransitivität.

mfg

[Gerhard Kemme]

Oh gut. Dann sind die Gallilei-Transformationen auch nicht "transitiv" (vielleicht sollten wir diese Eigenschaft besser Kemmesch nennen, denn mit Transitivität hat das alles nix zu tun). Denn wenn man die selbe Situation hat:

dann kann man keine Geschwindigkeit mittendrin weglassen, da 0.1c + 0.2c < 0.9c und das ist ja bekanntlich völlig absurd. Damit ist dann wohl auch die Newtonsche Physik völlig absurd.

EDIT: (Oder vielleicht ist auch deine Argumentation absurd..., nur so ein Gedanke von mir)

Das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein einer mathematischen Eigenschaft hat kaum etwas mit einer Wertung zu tun. Auch bei der Galilei-Transformation wird die Definition der "Transitivität" meiner Ansicht nach nicht erfüllt. Weitere Folgerungen aus der Nichttransitivität von Transformationen wären ein extra Thema.
Die Argumentation zur Transitivität ist schrittweise entwickelt und begründet worden.

mfg

[contravariant]

Am besten man prüft die Definition einer Gruppe ab:
[...]

Dein Beweis ist aus zwei Gründen falsch:
1) Wenn man beweisen will, dass eine Menge M zusammen mit einer Verküpfung * eine Gruppe bildet, dann muss man die oben genannten Eigenschaften für alle Elemente der Menge zeigen. Abgeschlossenheit und Assoziativität zeigst du aber nur bzgl. bestimmter Elemente. Damit ist der Beweis unvollständig.
2) Du betrachtest nur Boosts entlang derselben Achse. Diese bilden tatsächlich eine Gruppe (was du aber wegen 1) noch nicht gezeigt hast). In den LT sind aber Boosts entlang aller drei Raumachsen enthalten. Und wenn man zB. einen Boost entlang der x-Achse mit einem entlang der y-Achse verknüpft, dann lässt sich das nur mithilfe einer Drehung durch eine einzige LT darstellen. Damit ist die Menge der Boost unter der Verknüpfung "hintereinander ausführen" nicht abgeschlossen und damit auch keine Gruppe.

[contravariant]

Dies war anfangs und zwischendurch von mir erwähnt worden: Die Relation lautet: "Ist die Relativistische Addition anwendbar?"

Das ist jetzt zwar keine mathematische Definition, aber was solls... Hat jetzt auch nichts mit den LT und deren "Transitivität" zu tun.

[Gerhard Kemme]

Dies war anfangs und zwischendurch von mir erwähnt worden: Die Relation lautet: "Ist die Relativistische Addition anwendbar?"

Das ist jetzt zwar keine mathematische Definition, aber was solls... Hat jetzt auch nichts mit den LT und deren "Transitivität" zu tun.

Es handelt sich um eine Aussage, die mit ja oder nein beantwortet werden kann, insofern liegt diese Aussage mit Relationsausagen wie "Ist kleiner als" etc auf gleicher Ebene, denn wenn gesagt wird "es gibt eine Verknüpfung RA, so dass gilt ...", dann haben wir mit Existenz oder Nichtexistenz, d.h. "es gibt" und "es gibt nicht" durchaus eine sehr mathematische Relation. Die Relativistische Addition hat selbstverständlich etwas mit den LT und der "Transitivität" zu tun und stellt auch die Gruppenverknüpfung bei den LTs dar. Bei der Verbindung von Mathematik und Physik und dann noch Albert Einstein wird man sich nicht stur auf die Wikipedia-Bibel verlassen können, sondern wird selber das sichere Ufer der mundgerechten Vorformulierungen verlassen müssen - dafür hat man Mathematik studiert.

mfg

[contravariant]

Es handelt sich um eine Aussage, die mit ja oder nein beantwortet werden kann,

Das reicht für eine mathematische Definition leider nicht aus. Du musst schon eine Regel angeben, mit der man für alle möglichen "Eingaben" ableiten kann, ob die Antwort "ja" oder "nein" ist.

insofern liegt diese Aussage mit Relationsausagen wie "Ist kleiner als" etc auf gleicher Ebene, denn wenn gesagt wird "es gibt eine Verknüpfung RA, so dass gilt ...", dann haben wir mit Existenz oder Nichtexistenz, d.h. "es gibt" und "es gibt nicht" durchaus eine sehr mathematische Relation. Die Relativistische Addition hat selbstverständlich etwas mit den LT und der "Transitivität" zu tun und stellt auch die Gruppenverknüpfung bei den LTs dar.

Du hast gerade eine Relation auf den LT definiert. Die mag nun transitiv sein, oder auch nicht, das hat nichts damit zu tun, ob die LT "transitiv" sind oder nicht.

[Gerhard Kemme]

Am besten man prüft die Definition einer Gruppe ab:
[...]

Dein Beweis ist aus zwei Gründen falsch:
1) Wenn man beweisen will, dass eine Menge M zusammen mit einer Verküpfung * eine Gruppe bildet, dann muss man die oben genannten Eigenschaften für alle Elemente der Menge zeigen. Abgeschlossenheit und Assoziativität zeigst du aber nur bzgl. bestimmter Elemente. Damit ist der Beweis unvollständig.
2) Du betrachtest nur Boosts entlang derselben Achse. Diese bilden tatsächlich eine Gruppe (was du aber wegen 1) noch nicht gezeigt hast). In den LT sind aber Boosts entlang aller drei Raumachsen enthalten. Und wenn man zB. einen Boost entlang der x-Achse mit einem entlang der y-Achse verknüpft, dann lässt sich das nur mithilfe einer Drehung durch eine einzige LT darstellen. Damit ist die Menge der Boost unter der Verknüpfung "hintereinander ausführen" nicht abgeschlossen und damit auch keine Gruppe.

Wir werden bei dieser Art von Diskussions-Medium erstens den begrenzten Schreibraum berücksichtigen müssen und zum anderen nicht völlig losgelöst von der Leserschaft schreiben können. Insofern kommt es im Rahmen eines Beitrages darauf an, den Gedankengang in Kürze aber Verständlichkeit so gut wie möglich rüber zu bringen. Dies läuft besser mit einem konkreten Beispiel, welches einfach nur zeigt, wie solch ein Beweis möglich ist. Wer den Beweis dann allgemein machen oder gar eine Widerlegung zeigen möchte, kann dies tun.
Wie bereits gesagt, geht es immer auch um Verständlichkeit und meistens war bisher bei Albert Einstein und späteren Anhängern und Interpreten von LTs die Rede, bei welchen sich nur für die x-Achse die Werte ändern und ansonsten y'=y und z'=z gilt:

t' = [t - (v/c²)*x]/sqrt(1 - v²/c²)
x' = [x - v*t)/sqrt(1 - v²/c²)
y' = y
z' = z[/list]

Wir haben es hier mit Albert Einstein und nicht mit allgemeinen und formalen mathematischen Strukturen zu tun, d.h. es wird auch nicht Gruppentheorie als Selbstzweck mit Klassifizierung von sonstwelchen Gruppen betrieben.
Fazit: Es wurde in dem von mir genannten Beispiel eine LT beschrieben, wie sie von A.E. und Anhängern meistens gezeigt wurde - und dafür gelten die Gruppeneigenschaften. Insofern kann absolut nicht die Rede davon sein, dass mein Beweis falsch sei, da er selbstverständlich an das Medium eines Beitrages angepasst werden musste und nicht der Anspruch gestellt wird, hier abschließend etwas für die mathematische Nachwelt zu überliefern.

mfg

[Gerhard Kemme]

Es handelt sich um eine Aussage, die mit ja oder nein beantwortet werden kann,

Das reicht für eine mathematische Definition leider nicht aus. Du musst schon eine Regel angeben, mit der man für alle möglichen "Eingaben" ableiten kann, ob die Antwort "ja" oder "nein" ist.

Hallo, bitte um Rückbesinnung, wo du dich hier befindest: Dies ist ein Diskussionsforum mit Beitragslängen von maximal einer halben DINA4-Seite - mehr als die Andeutung von Lösungswegen ist weder schreibtechnisch möglich noch - mit Ausnahme bei Harald - üblich. Wäre schön, wenn du deine eigenen - hohen - Ansprüche für "uns" umsetzen würdest und etwas ausführliche neue Infos präsentieren könntest. Außerdem ist es auch nicht erforderlich für eine Wegbeschreibung jeglichen Einzelschritt vorzuschreiben. Außerdem ist diese allgemeine Regel angegeben, da bei der Hintereinanderausführung keine dazwischen liegenden LTs unberücksichtigt gelassen werden können.

insofern liegt diese Aussage mit Relationsausagen wie "Ist kleiner als" etc auf gleicher Ebene, denn wenn gesagt wird "es gibt eine Verknüpfung RA, so dass gilt ...", dann haben wir mit Existenz oder Nichtexistenz, d.h. "es gibt" und "es gibt nicht" durchaus eine sehr mathematische Relation. Die Relativistische Addition hat selbstverständlich etwas mit den LT und der "Transitivität" zu tun und stellt auch die Gruppenverknüpfung bei den LTs dar.

Du hast gerade eine Relation auf den LT definiert. Die mag nun transitiv sein, oder auch nicht, das hat nichts damit zu tun, ob die LT "transitiv" sind oder nicht.

Siehe oben - ist allgemein, wenn gesagt wird, dass bei drei LTs mit Hintereinanderausführung per RA die "mittlere" LT nicht übersprungen werden darf.

mfg