Lorentztransformation noch ganz anders :-)

[Ernst]

.
Also ich verstehe hier immer nur Bahnhof
Anfangs stand:

x' = (x-v*t)/√(1-(v²/c²))

Da x aber definitionsgemäß ct ist folgt:

Und das ist im Ansatz unzulässig. Es wurde ja auch schon mehrfach gesagt.

Die LT bildet ein x in x' ab, und zwar in Abhängigkeit der frei wählbaren Parameter v,t,c. (c natürlich nur theoretisch).
Es handelt sich um eine Abbildungsfunktion x' = f(x).
x ist darin eine frei wählbare, an nichts gekoppelte Variable, also auch nicht an die Zeit.
(x=c*t bildet dagegen nur einen einzigen singulären Punkt ab.)

Highway betrachtet die LT für das Licht (oder für das el-Feld).

Die lautet mit obiger LT einfach
x' = (x-c*t) / √(1-1) = 0
was ja im Sinne der SRT auch verständlich ist.

Ernst

[scharo]

Die LT und GT sind für beliebig gelegene Ereignisorte und beliebige Zeiten gedacht.
c*t = x kann man auch bei v ungleich c einsetzen, da muss ich mich korrigieren. Auf diese Weise bekommt man streng definierte Ereignisorte, die bei variabler t auf einer Gerade im Raum-Zeit-Diagramm liegen (x = c*t), für alle anderen Orten gilt die Gleichung nicht mehr. So was ergibt keinen Sinn und ist für nichts zu gebrauchen.

Ljudmil

[Ernst]

x'=(x-c*t)/sqrt(1-1)=0/sqrt(0).
Jetzt können uns Relativisten erklären wie man 0/sqrt(0) so rechnet.

Mein Fehler:
x' = (x-c*t) / √(1-1) = 0
muß natürlich heißen
x' = (x-c*t) / √(1-1) = ∞

Noch einmal:
wir betrachten 2 Koordinatensysteme S und S' die sich zum Zeitpunkt t=0 decken und ein Lichtblitz wird gerade zu diesem Zeitpunkt vom Koordinatenursprung aus emittiert.

Das ergibt für der Zeitpunkt t eine auf einen einzigen Punkt x = c*t eingegrenzte Transformation. Die allgemeine Gleichung ergibt für den Zeitpunkt t die Transformation für uneingeschränktes x.

Gruß
Ernst

[Ernst]

.

Ich denke nicht das man alles mögliche einsetzen kann und, wie schon einmal von dir vorgeschlagen, 10^9m in Verbindung mit t = 1s schon mal überhaupt nicht. Das würde nämlich Überlichtgeschwindigkeit bedeuten und dies ist bekanntlich/angeblich ja nicht möglich.

Wieso Überlichtgeschwindigkeit?
Es ist eine Transformationsgleichung und da kann man natürlich für x,t,v beliebige Werte einsetzen; x und t unbegrenzt, v >c.
Auch x=10^44m und t=1s geht z.B.

x ist doch nur die Abszisse des Koordinatensystems und die ist unendlich.

Ernst

[Ernst]

Stellt sich also nur die eine Frage: Was bedeuten x?

Ich hab´s ja oben schon nachgetragen. x ist ein beliebiger Punkt auf der x-Achse des Koordinatensystems K. Und dieser Punkt wird auf die x'-Achse des Koordinatensystems K' umgerechnet. Beliebige Punkte von Null bis quasi Unendlich!

ich denke, das erklärt Dir alles.

Ernst

[scharo]

Hallo Highway,

die LT zeigt die Koordinaten eines Punktereignisses, die die „bewegten“ Beobachter in K´, nach Meinung der unbewegten K messen müssten, sodass c invariant bleibt.
x ist die räumliche Koordinate des Ereignisses in K
t ist die zeitliche Koordinate des Ereignisses in K
x und t werden vorgegeben und können beliebige Werte einnehmen, somit Variablen.
Wenn Du eine Ereignisfolge (Bewegung) verfolgen möchtest, dann können t und x variieren. Wenn die Ereignisfolge z.B. auf festem Abstand in K ist, dann ist x konstant, t wächst und bleibt Variable – das habe ich in meinem Beispiel angegeben.
x´ ist keine Variable, sondern Resultat – x´ = f(x,t,v) und ist die räumliche Koordinate des Ereignisses in K´ nach Meinung von K.
Wenn Du x = c*t einsetzt, begrenzt Du x auf einem bestimmten Wert, x wird Resultat aus der Variable t. Wenn Ereignisfolge, dann kann x nur auf einer bestimmten Linie liegen und sich mit c bewegen, alle anderen x werden eliminiert. Und das ist nicht der Sinn der LT, die für beliebige Koordinaten gilt.

Deswegen auch mein Beispiel, da Du kein passendes Beispiel angegeben hast. Wenn Du, auch Chief, meint, die Frontwelle eines Lichtimpulses aus beiden IS betrachten zu wollen (sein Beispiel oben), was aber aus Deinem Eröffnungsbeitrag nicht zu entnehmen ist, dann wird dieser Front zur Zeit t das Ereignis mit Koordinaten c*t und t darstellen. Kein Problem es bei beliebiger v (v < c) zu berechnen. Betrifft aber nur diesen einzigen Punktereignis oder nur eine bestimmte Ereignisfolge. Du kannst nicht mit diesen herausgepickten Koordinaten eine allgemeine Bewegungsgleichung umformen. Und genau das hast Du versucht. In die allgemeine Formel, d.h. für beliebige x und t, kannst Du nicht x = c*t einsetzen, da beide t´s nicht identisch sind, mit einer Ausnahme, s. vorher, wo t = x/c ist.

Genau das Gleiche versucht auch Ernst zu erklären.

„Stellt sich also nur die eine Frage: Was bedeuten x?“

s. oben! x bekommt man z.B. so: K sendet einen Lichtstrahl (Funkwelle) zum Ort des Ereignisses, dort reflektiert der Strahl (die Reflexion ist der Punktereignis) und kommt nach T-Zeit zurück. Die Beobachter rechnen die Koordinaten des Punktereignisses: c*T/2 = x und T/2 = t. Diese t oder T/2 hat mit t-Flugdauer des bewegten IS nichts zu tun.

Gruß
Ljudmil

[Gerhard Kemme]

In die Gleichungen der LT:

kann man alles Mögliche einsetzen, also auch die von dir genannten Werte.

Ich denke nicht das man alles mögliche einsetzen kann und, wie schon einmal von dir vorgeschlagen, 10^9m in Verbindung mit t = 1s schon mal überhaupt nicht. Das würde nämlich Überlichtgeschwindigkeit bedeuten und dies ist bekanntlich/angeblich ja nicht möglich.

Wie bereits in einem anderen Beitrag geschrieben, handelt es sich beim Thema Transformationen oder Koordinatentransformationen um kein neues Thema, sondern um gebräuchlichen Standard. Siehe:
http://www.mathepedia.de/Koordinatentransformation.aspx
Und bei diesem Thema geht es nun einmal meistens darum, dass man gegebene Koordinaten hat und diese dann in irgendwelche Gleichungen einsetzt und dadurch elegant die Koordinaten im transformierten Ko-System bekommt. Dies könnte man anhand vieler Beispiele für die Galilei-Transformation erproben. Was bei der Lorentz-Transformation etwas durcheinander gerät, ist die Trennung zwischen Herleitung und Anwendung. Mit dem Lichtstrahl und so weiter, das ist alles Herleitung. Die Anwendung ist einfach: Koordinaten im Ruhesystem IS und Geschwindigkeit des Bewegtsystems nehmen und dann über die Gleichungen die Koordinaten im Bewegtsystem IS' errechnen. Bezüglich der Zeit t geht es ja nur darum, wie lange sich das Bewegtsystem IS' bewegt hat. Logischerweise verringert sich dadurch der Abstand zwischen dem Ursprung des Bewegtsystem und dem örtlich festgelegten Objekt, welches den Abstand x vom Ursprung des Ruhesystems IS hat - dies nur grob angedeutet.

mfg

[Gerhard Kemme]

Also hier nocheinmal der Versuch der Herleitung der LT:

Ein Lichtstrahl bewegt sich in I und es gilt

X = c*t

Im System I' findet sich dann folgende Gleichung für den Lichtstrahl:



Der Lichtstrahl bewegt sich also im System I' nur mit der Geschwindigkeit c - v. Das steht im Widerspruch zum Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen. Es muss nach dieser Betrachtungsweise also eine Korrektur stattfinden. Als Resultat ergibt sich die Lorentz-Transformation.
Dazu wird folgender Ansatz verfolgt. Es wird ein Korrekturfaktor gamma eingeführt, in der Form:

X' = γ*(X - v*t)

Da sich das System I' mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegen soll, gilt für

X' = 0

die Gleichung:

X = v*t

Dann gilt ebenfalls die Gleichung:

X = γ*(X' + v*t')





Somit besteht die Aufgabe der Herleitung daraus γ zu bestimmen.
Ein Lichtstrahl muss sich nach dieser Betrachtungsweise im System I und I' jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Aus

X = c*t

folgt

X' = c*t'

X' = γ*(x - v*t) = γ*(c*t - v*t) =
= γ*t*(c - v) = γ*X/c * (c - v) =
= γ*x/c *c(1 - v/c) ==>
==> X' = γ*X*(1 - v/c)

Entsprechend kann die Ausbreitung des Lichtstrahls in I betrachtet werden:

X = γ*(x' + v*t') = γ*(c*t' - v*t') =
= γ*t'*(c + v) = γ*X'/c * (c + v) =
= γ*x'/c *c(1 - v/c) ==>
==>X = γ*X'*(1 - v/c)

Aus
X'*X
folgt:

X'*X=γ*x(1-v/c)*γ*x'(1 +v/c)=
=γ²*X*X'*(1 - v²/c²)

Also ist der Korrekturfaktor γ:

γ = 1/sqrt(1 - v²/c²)

[Ernst]

Hallo Highway,

x' = (x-v*t)/√(1-(v²/c²))

ich habe noch einmal über Deinen Gesichtspunkt nachgedacht und eventuell meinst Du ja folgendes.

Man kann natürlich überprüfen, wie eine zeitliche Ortsänderung x(t) sich darstellt als x'(t). Und da kann man als Sonderfall x(t)=c*t untersuchen

x'(t) = (c*t-v*t)/ √(1-(v²/c²))

ergibt nach Umformen

x'(t) = c*t * √(c - v) / √(c + v)

Ein Lichtstrahl, welcher in K auf der x-Achse mit c läuft, läuft in K' mit c*√(c - v) / √(c + v)

Ernst

[Gerhard Kemme]

Das bestreite ich ja überhaupt nicht. Ansonsten wäre v nicht const. Wenn du aber ein beliebiges v als konstant annehmen möchtest, dann sind x und t nicht mehr frei wählbar. Deshalb kommt mir, danke Chief und Ernst, die Verallgemeinerung etwas merkwürdig vor wenn man anschließend versucht dies in einen physikalischen Vorgang zu "transformieren". Was mir dort fehlt ist der Bezug. Der scheint mir aber nicht mehr gegeben.

Man kann die Menge der LT bilden und dort wäre die Unterscheidung der einen LT von der anderen die Geschwindigkeit v. Dabei sind bei jedem v die Variablen x und t frei wählbar, da das bewegte Koordinatensystem auch für negative Zahlen links vom Ursprung definiert ist, d.h. wenn du einen hohen Wert für t und v eingibst und einen kleinen Wert für x, dann wäre der Ursprung des bewegten Koordinatensystem schon längst über den Ort hinaus, wo sich das "Objekt" an der Stelle x befindet - dann kriegt man für x' eine negative Zahl.

Das macht eher den Eindruck als wäre das eine "Wünsch dir was" Veranstaltung. Man nimmt ein beliebiges x, dazu ein beliebiges t und pfeift auf die Forderung das zu einem gegebenen v, was konstant sein soll, x und t abhängige Variablen sind.

x und t sind aber zu v unabhängig.

Da hast du recht. Dann frage ich mich aber nun wieder, wenn Einstein von einem Spezialfall verallgemeinert hat, dann frage ich mich, wieso man nicht von der Verallgemeinerung wieder auf den Spezialfall zurück rechnen sollte? Oder anders ausgedrückt: War die Verallgemeinerung Einsteins überhaupt zulässig in dem Sinne, da ja ein physiklaischer Vorgang beschrieben und vernünftige Werte geliefert werden sollen?

Wie gesagt, unterscheiden sich die Vorgänge Herleitung einer Formel und Anwendung der Formel. Wie es bereits von Ernst ausgedrückt wurde, handelt es sich bei der Transformation um eine Funktion von drei Variablen. Jetzt kannst du natürlich noch eine weitere Verkettung hinzu fügen und eine Variable noch wieder von etwas anderes abhängig machen - der Einwand bezog sich nur darauf, dass dies der übliche und einzige Weg wäre.
Es gibt nach meiner Kenntnis unterschiedliche Verfahrensweisen der Herleitung der LT, wenn man eine andere Herleitung im Sinne hat, dann müsste die auch einmal im Zusammenhang dargestellt werden. Nur der Umgang mit der LT ist dann ganz lapidar: Einsetzen und transformieren. Allerdings kann man dann die kennzeichnenden Eigenschaften der LT einmal bequem nachrechnen, z.B. Zeitdilatation http://www.beeplog.de/147012_528788.htm, Geschwindigkeit Lichtstrahl: http://www.beeplog.de/147012_521159.htm in Ruhe- und Bewegtsystem, Längenkontraktion.

Da aber zur Ableitung der Lorentz-Transformation die Definition x=ct verwendet wurde, dann verstehe ich nicht, wieso ich diese nicht verwenden darf. Man könnte auch die Vermutung haben, das nur bei Verwendung der Definition ein Bezug zum physikalischen Vorgang gegeben ist, der aber bei x-beliebiger Kombination von x und t verloren geht.

Meiner Ansicht darf x=c*t verwendet werden, d.h. du gibst dir einen Wert für t und multiplizierst ihn mit dem Wert der Lichtgeschwindigkeit und erhältst so x. Du kannst auch die Bewegung eines Lichtstrahls anhand von zwei Ereignissen im Ruhesystem festlegen und dann diese Punkte ins Bewegtsystem transformieren und erhältst dann z.B., wenn du den Differenzenquotient c'=(x'_2-x'_1)/(t'_2-t'_1) bildest einen Wert der mit c, also c=c', übereinstimmt. Der Nährwert solcher Transformationen ist aber der Nährwert auch anderer Transformationen und mathematischer Formeln und Strukturen, dass sie zur Verfügung stehen und jeder nach seiner Aufgabenstellung sie anwendet, was nicht bei der Herleitung festgelegt wird.

mfg