Beschleunigung I

[Yukterez]

Warum steigende Komplexität, hast du versucht das im Kopf bzw auf dem Papier zu rechnen (: Formeln aus dem Internet am besten immer mit dem PC eigeben:



Die Zeit t lässt sich so problemlos ermitteln, das Problem ist nur bei der unteren Formel (rot unterlegt) um die Strecke nach der Zeit zu ermitteln {y(t)}, dort weiss ich nicht so recht wass ich bei d^(n-1)/dr^(n.1) für d und dr setzen soll, aber das finden wir auch noch raus.

[Trigemina]

Hallo Ernst

Danke für Dein Posting. Der Forenbeitrag versuchte die Fallzeit zu berechnen. Der englische Wiki-Beitrag hat ihn ausgerechnet und die mir bis anhin unbekannte Formel habe ich mit Zahlen versehen (fiktive Schwarzloch-Erde) und genau das ausgerechnet, was man auch über die Schwarzschildmetrik der ART erhält:

y:=0;y0:=6378000;

> t:=sqrt(y0^3/(2*M*G))*(sqrt(y/y0*(1-y/y0))+arccos(sqrt(y/y0)));

t := 285.1267343 Pi
> evalf(%);
895.75

Hier zum Vergleich aus dem Post die Gleichung:

tau=1/c*int(1/sqrt(r_s/r-r_s/r2),r=r1..r2);

Mit
G:=6.67428e-11;M:=5.977e24; c:=299792458;r_s:=2*M*G/c^2; r2:=6378000;r1:=r_s;
eingesetzt ergibt dies

895.74 Sekunden.

Wie ich geschrieben habe: Die Eigenzeit eines freifallenden Körpers ist identisch mit Newtons Fallzeit. Und die berechnete Geschwindigkeit ist ebenfalls richtig. Es ist bekannt, dass ein aus unendlicher Entfernung freifallender Körper am Schwarzschildradius die Geschwindigkeit c erreicht.

Gruss

[Yukterez]

Mathematica ist, auch wenn es die schönste Darstellung hat, am langsamsten was solche Rechnungen angeht. Daher hier nochmal im Matlab Code:

Alles gegeben ausser Zeit (t):

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clearvars;
syms t
G  = 6.67384*10^-11 ;
r2 = 1000000;
r1 = 1000;
M1 = 6*10^24;
M2 = 1000 ;
mu = G*(M1 + M2);

F  = sqrt(r2^3/2/G/(M1+M1))*(sqrt(r1/r2*(1-r1/r2))+acos(sqrt(r1/r2)))-t ;

vpa(solve(F, t))

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t = 39.248271072594477004713553469628 sek

Mupad/Maple:

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restart:
F  := sqrt(r2^3/2/G/(M1+M1))*(sqrt(r1/r2*(1-r1/r2))+arccos(sqrt(r1/r2)))-t :

assume(sek>0, m>0, kg>0):
G  := 6.67384e-11*m^3/kg/sek^2 :
r2 := 1000000*m :
r1 := 1000*m :
M1 := 6e24*kg :
M2 := 1000*kg :
mu := G*(M1 + M2) :

solve(F, t)

[Yukterez]

was ich daraus gelernt habe siehst du wenn du 1 Seite zurückblätterst, aber ob und was du gelernt hast weiss ich wahrlich nicht...

[Kurt]

Es ist bekannt, dass ein aus unendlicher Entfernung freifallender Körper am Schwarzschildradius die Geschwindigkeit c erreicht.

Gegen was bezogen?

Gruss Kurt

[Yukterez]

Du wirst es nicht verstanden haben, weil ich andere Zahlen einsetzte. Ich nehme also extra für dich, Chief, und zum Spass nochmal Trigemina´s Zahlen:

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assume(m > 0, sek > 0, kg > 0);

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G  := 0.667428e-10*m^3/kg/sek^2:
M1 := 0.5977e25*kg:
M2 := 0:
c  := 299792458*m/sek:
rs := 2*M*G/c^2:
r2 := 6378000*m:
r1 := rs:

mu := G*(M1+M2*kg):

F  := sqrt(r2^3/2/G/(M1+M2))*(sqrt(r1/r2*(1-r1/r2))+arccos(sqrt(r1/r2)))-t :
t1 := solve(F, t)

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t1 = 895.7520537 sek

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mu := G*(M+10000000000000000*kg):

F  := sqrt(r2^3/2/G/(M1+M2))*(sqrt(r1/r2*(1-r1/r2))+arccos(sqrt(r1/r2)))-t :
t2 := solve(F, t)

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t2 = 895.752053 sek

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mu := G*(M+M):

F  := sqrt(r2^3/2/G/(M1+M2))*(sqrt(r1/r2*(1-r1/r2))+arccos(sqrt(r1/r2)))-t :
t3 := solve(F, t)

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t3 = 633.3923516 sek

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t1/t3 = √2

Die Zeit die zwei Erdmassen bräuchten um aufeinander zuzufallen wäre demnach 1/√2 mal die Zeit die eine vernachlässigbar kleine Masse bräuchte um zu fallen. Wie schon gehabt, Pythagoras sitzt auch in der Geschwindigkeit.

Mupad / Maple - Syntax

[Ernst]

Warum steigende Komplexität, hast du versucht das im Kopf bzw auf dem Papier zu rechnen

Es ging mir um die eigene Herleitung der Bezíehung, bevor ich Kenntnis vom Link mit der Lösung hatte. Nicht um die numerische Rechnung.
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[Yukterez]

Symbolisch kann ich nach dieser Formel weder r1 noch r2 evaluieren, mit keinem Programm. Das geht nur numerisch, sonst gibt es einen endlos langen Output...
Aber auch numerisch lässt es sich nicht beliebig in alle Richtungen auflösen, siehe Screenshot.png - das liegt vermutlich am ArcCosinus.

Mich würde interessieren, was ich bei d, dr und r einsetze, in dieser Formel:



dann sollte auch das gehen. Leider stehen auf Wikipedia mal wieder die Variablen nicht definiert, sondern mit vager Quellenangabe ohne Link...

Deswegen würde ich es vorerst mal über
Position = Zeit² · Beschleunigung ÷ 2
evaluieren, und sofern die 2te Masse auch von Bedeutung ist, dann über Pythagoras angleichen

[Trigemina]

Mich würde interessieren, was ich bei d, dr und r einsetze, in dieser Formel:

d/dr ist ein Differentialoperator, der die nachfolgende Funktion f(r) nach ihrer Ableitung f'(r) abbildet. Das Ergebnis ist die weiter unten im englischen Wiki-Link stehende Potenzreihensumme, die die inverse Funktion y(t) beliebig genau, je nach Anzahl der verwendeten Summanden, auswertet.

Gruss

[Yukterez]

Schon, aber in unseren Variablen
(r1, r2, rs etc)
was setz ich da ein ?