Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema Äquivalenz von Masse und Energie.
Herleitung von E=mc²:
Problemstellung:
Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit
W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.
Unveränderliche Masse:
Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft
F=m*a
wie folgt:
W=m*a*s | und mit s=a/2t²
W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t
W=m*v²/2*t²=1/2*m*v²
Rechnet man mit Differentialen, dann gilt:
a=dv/dt
v=ds/dt
dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv
Nunmehr Integration:
W=m*∫v*dv=m*1/2*v²=1/2*m*v²
Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²
Relativistische Masse:
Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses p. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:
F=dp/dt und p=m*v
F=d(mv)/dt
Die Kinetische Energie ergibt sich aus:
- Kinetische_Energie_Umformung.JPG (10.53 KiB) 7113-mal betrachtet
Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens Partielle Integration. Hierzu die Formel:
- Partielle_Integration.PNG (3.53 KiB) 7109-mal betrachtet
Es wäre nun:
g'(v) = d(mv)/dv und g(v) = mv
f'(v) = 1 und f(v) = v
Also:
W = mv² - ∫ mv * dv
Die Masse m wird nunmehr als Relativistische" Masse:
m = m_0/√(1-v²/c²) geschrieben.
Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:
W = mv² - ∫ mv * dv = mv² - m_0*∫ v/√(1-v²/c²) * dv= mv² - m_0*c*∫ v/√(c²-v²)*dv = mv² - m_0*c*[-√(c²-v²)]_v_0=
mv²+m_0*c*{[√(c²-v²)]-c}= mv²+m_0*c²*√(1-v²/c²)- m_0*c²=mv²+m*√(1-v²/c²)*c²*√(1-v²/c²)-m_0c²=m(v²+c²*(1-v²/c²)- m_0*c²=
m*(v² + c² - v²) - m_0*c²= mc² - m_0*c²
Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms m_0*c² dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: W=mc² In anderer Schreibweise für Energie dann also:
E = m * c²
