Mir persönlich wäre es zuviel Text. Daher eine Zeichnung, um die Situation zu veranschaulichen:

- Doppler-Radar Herleitung
- Doppler Radar.png (5.99 KiB) 2462-mal betrachtet
c: Geschwindigkeit der Impulse "rot" und "blau"
v: Geschwindigkeit des Reflektors
L: Abstand zwischen den Impulsen "rot" und "blau" vor der Reflexion.
L': Abstand zwischen den Impulsen "rot" und "blau" nach der Reflexion von rot. Impuls "blau" trifft auf den Reflektor
c*t: Zurückgelegte Strecken des blauen Impuls zum Reflektor und des roten Impuls retour in der Zeit t
v*t: Zurückgelegte Strecke des Reflektors in der Zeit t
L-Strecken ablesen:
L' = ct - vt
L = ct + vt
Die Strecken ins Verhältnis setzen und t kürzen:

Mit L' = c/f' und L = c/f folgt:

Nach f' aufgelöst

Jetzt könnte man eine Reihenbildung machen und für v<<c nach dem ersten Term abbrechen (Der Fehler wäre sehr klein). Dann hätte man Ernsts Eingangsgleichung.
Man sieht: Alles ganz SRT-Konform und in einem Bezugssystem.
LG
L.