Wellengleichung unter Galilei-Transformation

Lagrange

Wellengleichung im ruhenden Medium lautet:

$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right) f(x,t)=0$

Dies kann geschrieben werden als:

$\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right) f(x,t)=0$

Somit hat die Gleichung die allgemeine Lösung

$f(x,t)=f_1(x+ct)+f_2(x-ct)$

Das sind zwei Wellen wobei eine nach links und die andere nach rechts läuft.

Lagrange

Lagrange hat geschrieben:

Wellengleichung im ruhenden Medium lautet:

$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right) f(x,t)=0$

Dies kann geschrieben werden als:

$\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right) f(x,t)=0$

Somit hat die Gleichung die allgemeine Lösung

$f(x,t)=f_1(x+ct)+f_2(x-ct)$

Das sind zwei Wellen wobei eine nach links und die andere nach rechts läuft.

PS: Die Geschwindigkeit beider Wellen ist gleich c.

Lagrange

Galilei-Transformation x'=x-vt und t=t' ergibt:

$\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial x'} \frac {\partial x'}{\partial x} + \frac {\partial f}{\partial t'} \frac {\partial t'}{\partial x}=\frac {\partial f}{\partial x'}$

$\frac {\partial f}{\partial t} = \frac {\partial f}{\partial x'} \frac {\partial x'}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial t'} \frac {\partial t'}{\partial t}=-v \frac {\partial f}{\partial x'} + \frac {\partial f}{\partial t'}$

Und die Wellengleichung wird:

$\frac {1}{c^2} \left(v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x'^2 } - 2v \frac{\partial^2 f}{\partial x' \partial t}+\frac{\partial^2 f}{\partial t^2 }\right)-\frac{\partial^2 f}{\partial x'^2 } =0$

oder:

$\left[\frac {1}{c^2} \left(v^2 \frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } - 2v \frac{\partial^2 }{\partial x' \partial t}+\frac{\partial^2 }{\partial t^2 }\right)-\frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

Das kann auch als:

$\left[\frac {1}{c^2} \left(\frac{\partial }{\partial t }-v \frac{\partial }{\partial x'} \right)^2-\frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

und:

$\left[\frac {1}{c} \left(\frac{\partial }{\partial t }-v \frac{\partial }{\partial x'} \right)-\frac{\partial }{\partial x' } \right]\left[\frac {1}{c} \left(\frac{\partial }{\partial t }-v \frac{\partial }{\partial x'} \right)+\frac{\partial }{\partial x' } \right]f(x',t)=0$

geschrieben werden.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist:

$f(x',t)=f_1(x'+(c+v) t)+f_2(x'-(c-v) t)$

Eine Welle läuft mit c+v nach links und die zweite mit c-v nach recht, wie es nach dem Relativitätsprinzip auch sein muss.

Einstein k.o. !

Lagrange

Lagrange hat geschrieben:

Galilei-Transformation x'=x-vt und t=t' ergibt:

$\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial x'} \frac {\partial x'}{\partial x} + \frac {\partial f}{\partial t'} \frac {\partial t'}{\partial x}=\frac {\partial f}{\partial x'}$

$\frac {\partial f}{\partial t} = \frac {\partial f}{\partial x'} \frac {\partial x'}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial t'} \frac {\partial t'}{\partial t}=-v \frac {\partial f}{\partial x'} + \frac {\partial f}{\partial t'}$

Und die Wellengleichung wird:

$\frac {1}{c^2} \left(v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x'^2 } - 2v \frac{\partial^2 f}{\partial x' \partial t}+\frac{\partial^2 f}{\partial t^2 }\right)-\frac{\partial^2 f}{\partial x'^2 } =0$

oder:

$\left[\frac {1}{c^2} \left(v^2 \frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } - 2v \frac{\partial^2 }{\partial x' \partial t}+\frac{\partial^2 }{\partial t^2 }\right)-\frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

Die Gleichung kann auch anders geschrieben werden:

$\left[\frac {1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2 } -2 \frac {v}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial x' \partial t}-\left(1-\frac {v^2}{c^2}\right) \frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

Daraus macht Lorentz folgende Gleichung:

$\left[\frac {1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2 } -\cancel{2 \frac {v}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial x' \partial t}}-\left(1-\frac {v^2}{c^2}\right) \frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

Eint Teil des Ausdrucks wird einfach gestrichen und so erhält Lorentz seine relativistische Gleichung.

$\left[\frac {1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2 } -\left(1-\frac {v^2}{c^2}\right) \frac{\partial^2 }{\partial x'^2 } \right]f(x',t)=0$

Lagrange

Die von Lorentz verstümmelte Gleichung, welche nur wegen Vernachlässigung einiger Glieder entstanden ist, kann wie folgt geschrieben werden.

$\left(\frac {1}{c}\frac{\partial}{\partial t } -\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}} \frac{\partial }{\partial x' } \right)\left(\frac {1}{c}\frac{\partial}{\partial t } +\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}} \frac{\partial }{\partial x' } \right)f(x',t)=0$

Die allgemeine Lösung lautet:

$f(x',t)=f_1(x'+\sqrt{c^2-v^2} t)+f_2(x'-\sqrt{c^2-v^2} t)$

Jan

Leifi Physik ist eine sehr gute Erklärseite für jemand, der sich erstmals damit beschäftigt

Da wird Schritt für Schritt so erklärt, daß man es verstehen muß.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/mec ... enfunktion

Lagrange

Jan hat geschrieben:

Leifi Physik ist eine sehr gute Erklärseite für jemand, der sich erstmals damit beschäftigt

Da wird Schritt für Schritt so erklärt, daß man es verstehen muß.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/mec ... enfunktion

Die Erklärung der Wellen ist OK.

Jan

Es gibt die mathematische Beschreibung der

mechanischen Wellen und der elektromagnetischen Wellen.

Wie ist bei beiden die transervale und longitudinale Welle mathematisch beschrieben?

Jan

Lagrange

Lagrange hat geschrieben:

Die von Lorentz verstümmelte Gleichung, welche nur wegen Vernachlässigung einiger Glieder entstanden ist, kann wie folgt geschrieben werden.

$\left(\frac {1}{c}\frac{\partial}{\partial t } -\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}} \frac{\partial }{\partial x' } \right)\left(\frac {1}{c}\frac{\partial}{\partial t } +\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}} \frac{\partial }{\partial x' } \right)f(x',t)=0$

Jetzt substituiert Lorentz x' durch $x \sqrt{1-v^2/c2}$ und erhält normale Wellengleichung.

Lorentztransformation wurde durch falsche Anwendung der Mathematik "hergeleitet" (unzulässige Streichung von Teilen der Gleichung). :lol:

Das Prinzip des Seins

Wellengleichung unter Galilei-Transformation

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