Mit der einzigen Wahrheit ist das nicht so einfach
Eine Aussage über die Aussage selbst
Indem Gödel logische Aussagen, Formeln und sogar Beweise als Zahlen ausdrückte,
konnte er die gewöhnlichen Werkzeuge der Mathematik benutzen, um mit ihnen zu arbeiten.
Damit gelang Gödel der Geniestreich: Er schaffte es, eine Aussage G zu formulieren, die von sich handelte.
G lautet: »Die Aussage G lässt sich nicht beweisen.« Nun musste Gödel nur noch herausfinden,
ob das wahr oder falsch ist. Angenommen, G sei falsch. Dann gilt die Negation der Aussage,
nämlich: »Die Aussage G lässt sich beweisen.« Wenn das aber der Fall ist, muss G wahr sein.
Es gibt demnach einen Widerspruch: Indem man annimmt, G sei falsch, erhält man die Aussage,
G sei wahr. Daher muss G wahr sein. In diesem Fall lässt sich G jedoch nicht beweisen.
Wenn man also davon ausgeht, dass ein Axiomensystem widerspruchsfrei ist, dann gibt
es zwingend wahre, aber unbeweisbare Aussagen. Damit ist das Fundament der Mathematik
zwangsläufig unvollständig. Das bedeutet aber nicht, dass es Probleme gibt, die weder falsch
noch richtig sind – sondern nur, dass sie nicht immer beweisbar sind. Und wie Gödel in seiner
bahnbrechenden Arbeit ebenfalls zeigen konnte, ist das für alle Axiomensysteme der Fall.