1.) Die Entropie eines geschlossenen Systemes ist konstant.
Die adiabatische Expansion des Universums erfolgt bei konstanter Entropie.
2.) Wenn man N-Teilchen im Raum (Radius R) gleichmäßig verteilt, dann ist die Standardabweichung sigma = R/sqrt(N).
Wenn nun die Standardabweichung sigma gleich der Planck-Länge x ist dann folgt:
N = R^2/x^2 = R^2*c^3/(h*G)
Bei Normalverteilung (Wahrscheinlichkeit P = exp(-R^2/x^2)) gilt für die Entropie:
S = -k_b*ln(P) = -k_b*ln(exp(-R^2/x^2)) = k_b*R^2*c^3/(h*G) = const
3.) Wenn wir nun Plancksches Wirkungsquantum h, Boltzmannkonstante k_b und Lichtgeschwindigkeit c als Konstant ansehen folgt:
G/R^2 = const = G(z)/R(z)^2 mit Rotverschiebung z
mit R(z) = Ru/(1+z) und
G/(R(z)*(1+z))^2 = G(z)/R(z)^2 folgt:
G(z) = G/(1+z)^2
R(z) = Ru/(1+z) = x*sqrt(N)/(1+z)
M(z) = Mu*(1+z) = m*sqrt(N)*(1+z)
R´(z)^2 = G(z)*M(z)/R(z) = c^2 (wegen m/x=c^2/G)
R"(z) = G(z)*M(z)/R(z)^2 = m*c^3*(1+z)/(h*sqrt(N))
R"(z)/R(z) = (1+z)^2/(t^2*N) = R´(z)^2/R(z)^2
N = Ru^2/x^2 => Gleichverteilung
mG = h/(c*R(z))
nG = 3*N/(4*pi*R(z)^3)
rho = mG*nG = 3*N*h/(4*pi*c*R(z)^4) => rho*R(z)^4 = const = Adiabate
Ru .. Radius des Universums
z ... Rotverschiebung
x ... Planck-Länge = sqrt(h*G/c^3)
N ... Teilchenzahl (Gravitonen)
Mu .. Masse des Universums
m ... Planck-Masse = sqrt(h*c/G)
t ... Planck-Zeit = sqrt(h*G/c^5)
mG .. Masse der Gravitonen
nG .. Dichte der Gravitonen
rho . Massendichte