Scheinbares? Garagenparadoxon --- reloaded and exploded

[Trigemina]

Auch die Umfangsgröße der ruhenden Scheibe wäre nur ein Messergebnis - jede dieser Messungen ist eben lt. SRT die Realität. Es ist demnach real, dass der veränderte Umfang auch die Anfangsbedingungen der Messung bzw. Berechnung verändert - und damit sind wir prompt im circulus virtuosus.

Darauf baust du deine Argumentationskette auf, die so nicht haltbar ist. Es gibt keine Rückkopplung des Messwertes auf die Anfangsbedingungen. Die Drehzahl ist konstant mit

n = ω*r / (2*Pi)

und bleibt von einer kontrahierten Messung der Umfangslinie im Laborsystem unberührt.

Gruss

[Harald Maurer]

Uli:
Ich denke. dieser Punkt verdiente wirklich eine Klärung, oder nicht ?

Für das Ehrenfest-Paradoxon wurden von Fachleuten rund 6 unterschiedliche Lösungen mit teilweise diametral entgegengesetzten Aussagen präsentiert. Welche dieser Lösungen darf man als die richtige ansehen - oder darf das Los entscheiden?

Grüße
Harald Maurer

[Harald Maurer]

Es gibt keine Rückkopplung des Messwertes auf die Anfangsbedingungen. Die Drehzahl ist konstant mit

n = ω*r / (2*Pi)

und bleibt von einer kontrahierten Messung der Umfangslinie im Laborsystem unberührt.

Wenn die Drehzahl konstant bleibt, der Umfang des Rades sich aber verringert, bleibt die Umfangsgeschwindigkeit des Rades eben nicht gleich. Das führt natürlich zur Verlangsamung der Bahn und zur Rückkopplung wie beschrieben.
Deine Aussage ergibt folgendes Bild: der Radumfang wird zwar kontrahiert gemessen, aber das Rad verändert sich in keiner Weise (Radien und Winkel invariant). Dann gilt das auch für die Zahnschiene der Bahn, die zwar kontrahiert gemessen wird, dies aber ebenfalls nur scheinbar, denn sie kontrahiert ja nicht tatsächlich. Alles bleibt wie es ist. Wenn dem so ist, kann die unterschiedliche Alterung der Brüder im Zwillingsparadoxon auch nur scheinbar sein, vom relativistischen Impuls ganz zu schweigen. Alles bleibt wie es ist.
Bleibt natürlich noch die Frage, woher diese seltsamen Zugspannungen zwischen den Atomen kommen, die Nikolic zwischen den Atomen sowohl bei Rotation als auch bei Translation beschreibt. Die sind natürlich auch nur scheinbar (?).
Wenn die SRT nur Scheinbarkeiten behandelt, wozu braucht man sie eigentlich?

Grüße
Harald Maurer

[Trigemina]

Wenn die Drehzahl konstant bleibt, der Umfang des Rades sich aber verringert, bleibt die Umfangsgeschwindigkeit des Rades eben nicht gleich.

Die im Laborsystem gemessene Umfangsgeschwindigkeit ist dann um den Gamma-Faktor geringer. Das habe ich bereits gesagt:

Eine kontrahierte Umfangslinie sollte doch eine geringere Umfangsgeschwindigkeit zur Folge haben und keine höhere! In der gleichen Zeit wird eine geringere Strecke durchlaufen was eine geringere Umfangsgeschwindigkeit ergibt.

Das führt natürlich zur Verlangsamung der Bahn...

Wir können im Labor folgendes machen:

- die Umfangsgeschwindigkeit über einen auf der Oberfläche des Scheibenrands angebrachten Punkt bestimmen, also über seinen unveränderlichen Radius

- oder über die Umfangslinie mit einem seitlich angebrachten Punkt, d.h. über seine kontrahierte Umfangslinie

Im letzten Fall ergibt sich wegen der durch Gamma kontrahierten Umfangslinie eine dementsprechend verringerte Umfangsgeschwindigkeit. Dieses Element widerspiegelt genau die Situation zwischen unverändertem Radius und kontrahierter Umfangslinie.

...und zur Rückkopplung wie beschrieben.

Es ist nicht einzusehen, weshalb eine Kettenkontraktion eintreten sollte, da jeder Punkt, ob an der Oberfläche des Scheibenrands oder seitlich davon, immer nach derselben Laborzeit eine vollständige Umdrehung zurücklegt. Die oben gezeigten Unterschiede der zurückgelegten Streckenlängen pro Zeiteinheit sind unveränderlich (konstante Drehzahl vorausgesetzt).

Deine Aussage ergibt folgendes Bild: der Radumfang wird zwar kontrahiert gemessen, aber das Rad verändert sich in keiner Weise (Radien und Winkel invariant). Dann gilt das auch für die Zahnschiene der Bahn, die zwar kontrahiert gemessen wird, dies aber ebenfalls nur scheinbar, denn sie kontrahiert ja nicht tatsächlich. Alles bleibt wie es ist. Wenn dem so ist, kann die unterschiedliche Alterung der Brüder im Zwillingsparadoxon auch nur scheinbar sein, vom relativistischen Impuls ganz zu schweigen. Alles bleibt wie es ist.
Bleibt natürlich noch die Frage, woher diese seltsamen Zugspannungen zwischen den Atomen kommen, die Nikolic zwischen den Atomen sowohl bei Rotation als auch bei Translation beschreibt. Die sind natürlich auch nur scheinbar (?).
Wenn die SRT nur Scheinbarkeiten behandelt, wozu braucht man sie eigentlich?

Messungen sind nicht scheinbar und widerspiegeln den tatsächlichen physikalischen Sachverhalt aus dem jeweiligen Bezugssystem heraus.

Wie wir gesehen haben wird die Umfangslinie genauso kontrahiert gemessen wie die Zahnstange im Laborsystem, weswegen sie auch nach der SRT zusammen passen. Im Ruhesystem des rotierenden Zahnrades beträgt die Relativgeschwindigkeit zur Zahnstange an ihren Berührungspunkten Null.

Es gibt infolgedessen weder nach Newton noch nach der SRT ein Problem mit schnell rotierenden Zahnradbahnen, sofern unendliche Materialstabilität vorausgesetzt wird.

Gruss

[Harald Maurer]

ich will ja wirklich nicht pedantisch sein

Und wieso bist Du's dann?
In volkstümlicher Ausdrucksweise bedeutet "rund 6", dass es auch mehr sein können. Eine Antwort, welche der vielen Lösungen die "richtige" ist, wäre mir lieber gewesen als diese Wortklauberei, die zur Sache nichts beiträgt.

Grüße
Harald Maurer

[Faber]

Übersetzung
[...]
Nun sei wie in Abschnitt 2 angenommen, dass der rotierende Ring eine Serie unabhängiger kurzer Stäbe sei, die längs der [kreisrunden] Rinne gleichverteilt sind. Jeder einzelne Stab ist relativistisch kontrahiert, der Ring hingegen nicht. [Anmerkung von mir: Dies entspricht der Situation einer kontrahierten Umfangslinie bei gleichbleibendem Radius]
Dies bedeutet, dass die Abstände zwischen benachbarten Enden der benachbarten Stäbe grösser werden als für einen nicht-rotierenden Ring, so dass die richtige Länge [Anmerkung von Faber: proper length = Eigenlänge] des Rings grösser ist als für einen nicht-rotierenden Ring.

Diese Situation stellt einen realistischeren Ring aus elastischem Material dar, in dem die Atome die Rolle der kurzen, starren Stäbe spielen. Wegen der Rotation erhöht sich der Abstand benachbarter Atome, so dass im Material Zugspannungen auftreten.
[...]

Sie, Trigemina, sprechen hier unpassenderweise von einer "kontrahierten Umfangslinie bei gleichbleibendem Radius". H. Nikolic spricht klar und unmißverständlich von einem nicht relativistisch kontrahierten Ring.

Wie schafft es denn Ihrer Meinung nach die kontrahierte Umfangslinie, die Abstandszuwächse zwischen den Atomen auszulassen? Und warum lassen Umfangslinien nicht überhaupt auch bei nicht-rotierenden Ringen Atomabstände einfach aus?

Übersetzung
[...]
Lassen Sie uns nun unsere Aufmerksamkeit auf das Konzept richten, das die richtige Länge eines Körpers beschreiben soll. Gewöhnlich wird sie definiert als eine Länge des Körpers gleich des richtigen Rahmens des Körpers. Doch wie wir gesehen haben gibt es im Allgemeinen so etwas Ähnliches wie die richtige Länge eines passenden Rahmens des Körpers nicht als Ganzes. So etwas gibt es nur für einen nicht rotierenden, trägheitsbehafteten beweglichen Körper in der flachen Raumzeit. Das Konzept einer richtigen Länge eines grossen Körpers hat keine grundlegende Bedeutung, weil ein grosses Objekt nicht wirklich ein Objekt ist, sondern eine Reihe vieler wechselwirkender Teilchen. Jedoch ist die richtige Länge eines infinitesimal kleinen Teils des Körpers klar definiert. Deshalb können wir die richtige Länge eines ganzen Körpers als eine Summe der richtigen Länge ihrer infinitesimal kleinen Teile betrachten. Angewandt auf (27) sehen wir, dass die relativistische Kontraktion für einen kurzen, aber nicht infinitesimal kurzen Stab gleich der kreisförmigen Rinne L = L0/gamma für einen Beobachter in S ist. Hier ist L0 definiert als die richtige Länge wie weiter oben.[...]

Zum besseren Verständnis hier noch einmal das Original und eine Übersetzung, die die termini technici als solche berücksichtigt, mit Ihrer Hervorhebung:

Let us now turn our attention to the concept of the proper length of a body. Traditionally, it is defined as a length of the body as seen from the proper frame of the body. However, as we have seen, in general, there is no such thing as a proper frame of the body as a whole. Such a thing exists only for a nonrotating, inertially moving body in flat spacetime. The concept of a proper length of a large body does not have any fundamental meaning, simply because a “large body” is not actually one object, but a set of many interacting particles. However, the proper length of an infinitesimally small part of a body is well defined. Therefore, we can define the proper length of a whole body as the sum of the proper lengths of its infinitesimal parts. Applying this to (27), we see that the relativistic contraction of a short (but not infinitesimal) rigid rod uniformly moving along the circular gutter is given by L = L0/gamma, as seen by the observer in S. Here L0 is the proper length defined as above.

Richten wir nun unsere Aufmerksamkeit auf das Konzept der Eigenlänge eines Körpers. Traditionenell wird sie als Länge definiert, die ein Körper von seinem Eigensystem aus gesehen hat. Wie wir jedoch gesehen haben, gibt es im allgemeinen nicht so etwas wie ein Eigensystem des Körpers als Ganzem. So etwas gibt es nur für einen nicht-rotierenden, inertial bewegten Körper in der flachen Raumzeit. Das Konzept einer Eigenlänge eines großen Körpers hat keine fundamentale Bedeutung, weil schlicht ein "großer Körper" streng genommen kein Objekt ist, sondern eine Menge vieler interagierender Partikel. Die Eigenlänge eines infinitesimal kleinen Teiles eines Körpers ist hingegen wohl definiert. Daher können wir die Eigenlänge eines ganzen Körpers als die Summe der Eigenlängen seiner infinitesimalen Teile definieren. Wenden wir dies auf (27) an, so sehen wir, dass die relativistische Kontraktion eines kurzen (aber nicht infinitesimalen) starren Stabes, der gleichförmig entlang der kreisrunden Rinne bewegt ist, zu L = L0/gamma gegeben ist, wie er vom Beobachter in S [Laborbeobachter] gesehen wird. Dabei ist L0 die Eigenlänge, wie oben definiert.

H. Nikolic definiert hier die Eigenlänge eines zusammengesetzten Körpers, der aus infinitesimalen Partikeln besteht, deren Eigensysteme nicht identisch sind, so dass der zusammengesetzte Körper kein Eigensystem hat. H. Nikolic definiert die Eigenlänge des zusammengesetzten Körpers als Summe der (angeblich) wohldefinierten Eigenlängen der infinitesimalen Partikel (bereits die "Eigensysteme" der infinitesimalen Partikel sind nicht inertial).

Im Anschluss an diese Erörterung formuliert H. Nikolic dann für das Laborsystem: Jeder einzelne Stab ist relativistisch kontrahiert, der Ring hingegen nicht. Die paradoxe Situation wird mit Atomen, Zwischenräumen und Zugspannungen gelöst. Dazu haben Dr. Pössel und Harald Maurer alles nötige gesagt (materielle Veränderungen; auch Zwischenräume kontrahieren, wenn der Raum kontrahiert).

Gruß
Faber

[Harald Maurer]

Wir können im Labor folgendes machen:

- die Umfangsgeschwindigkeit über einen auf der Oberfläche des Scheibenrands angebrachten Punkt bestimmen, also über seinen unveränderlichen Radius

- oder über die Umfangslinie mit einem seitlich angebrachten Punkt, d.h. über seine kontrahierte Umfangslinie

Im letzten Fall ergibt sich wegen der durch Gamma kontrahierten Umfangslinie eine dementsprechend verringerte Umfangsgeschwindigkeit. Dieses Element widerspiegelt genau die Situation zwischen unverändertem Radius und kontrahierter Umfangslinie.

Das ist sehr praktisch, denn damit kann man das Paradoxon nach Belieben einsetzen, indem man, wie man's gerade braucht, beweist, dass das Rad entweder kontrahiert ist (man misst nach Variante 2) oder nicht kontrahiert ist (man misst nach Variante 1). Und man kann beweisen, dass die Bahn langsamer wird (Variante 2) oder nicht langsamer wird (Variante 1). Ja, kein Zweifel, die SRT ist eine universell einsetzbare Theorie! Und das Wunderbare, nahezu an die Wunder der Quantentheorie heranreichende Faszinierende ist, dass das Rad sowohl kontrahiert als auch nicht kontrahiert ist und eine Bahn sowohl gebremst als auch nicht gebremst wird, quasi eine Superposition geometrischer und dynamischer Zustände. Da ist Schrödingers Katze wirklich ein Klacks dagegen!

Es gibt infolgedessen weder nach Newton noch nach der SRT ein Problem mit schnell rotierenden Zahnradbahnen, sofern unendliche Materialstabilität vorausgesetzt wird.

Der arme Newton könnte ja auch nur einen einzigen Lösungsvorschlag anbieten. Da ist die SRT mit ihren zumindest 6 Lösungen, aus welchen sicher immer irgendeine passend ist, schon eindeutig im Vorteil

Grüße
Harald Maurer

[Trigemina]

Jeder einzelne Stab ist relativistisch kontrahiert, der Ring hingegen nicht. Die paradoxe Situation wird mit Atomen, Zwischenräumen und Zugspannungen gelöst. Dazu haben Dr. Pössel und Harald Maurer alles nötige gesagt (materielle Veränderungen; auch Zwischenräume kontrahieren, wenn der Raum kontrahiert).

In den ersten drei Kapiteln geht H. Nikolic auf die nicht-euklidische Metrik einer rotierenden Scheibe ein und löst damit das Paradoxon souverän auf. Im 4. Kapitel über die relativistische Längenkontraktion versucht er sie mit einer technischen Beschreibung über infinitesimal kleine Stäbe zu erklären. Sein Fazit, “Jeder einzelne Stab ist relativistisch kontrahiert, der Ring hingegen nicht“, beschreibt exakt jene paradoxe Kreiseigenschaft des unveränderlichen Radius’ und der kontrahierten Umfangslinie.

Den Klammerausdruck “materielle Veränderungen; auch Zwischenräume kontrahieren, wenn der Raum kontrahiert“, möchte ich an die Bedingung knüpfen, dass damit keine materielle Veränderung einhergeht. Die vom Bezugssystem abhängigen Messergebnisse müssen als verschiedene physikalisch relevante Ausprägungen ein und desselben Objekts verstanden werden.

Der arme Newton könnte ja auch nur einen einzigen Lösungsvorschlag anbieten. Da ist die SRT mit ihren zumindest 6 Lösungen, aus welchen sicher immer irgendeine passend ist, schon eindeutig im Vorteil

Stimmt. Dieses Paradoxon hätte Newton schon gar nicht. Es taucht erst in der SRT mit invarianten Radien und kontrahierten Umfangslinien auf.

Gruss

[Faber]

Bei geradlinig gleichförmiger Bewegung gibt es die kumulative Kontraktion nicht. Weil eine Strecke nicht ein zweites oder wiederholtes Mal "vorbeikommt". Das gibt es nur bei Rotation.

Das "wiederholt Vorbeikommen" ist der Knackpunkt, der das Paradoxon besonders deutlich macht. Dazu mein bekanntes Bild:



Wir haben hier 8 Kanonen, die lila Kügelchen absondern. Der unabhängige Schiedsrichter hat Probleme dabei zu ermitteln, wieviele Zahnstangenzähne zwischen zwei Kügelchen zu zählen sind.

Angenommen, Trigemina hätte eine Lösung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit für das Fahrzeugsystem (im Bild oben) vorgelegt, die frei von Zahnschmerzen wäre.

Transformieren wir nun Ereignisse aus dem Inertialsystem des Fahrzeugs in das Inertialsystem der Zahnschiene, dann ist das Problem des unabhängigen Schiedsrichters damit nicht gelöst.

Gruß
Faber

(Man stelle sich ggf. auch eine einzige, an der Radnabe installierte Kanone vor, die pro Runde vom Rad getriggert einen Schuss abgibt.)

[Faber]

Sein Fazit, “Jeder einzelne Stab ist relativistisch kontrahiert, der Ring hingegen nicht“, beschreibt exakt jene paradoxe Kreiseigenschaft des unveränderlichen Radius’ und der kontrahierten Umfangslinie.

Bleibt zu erwähnen:

1.) Ein Paradoxon ist ein tatsächlich unauflösbarer, unerwarteter Widerspruch.
2.) Die Reductio ad absurdum ist eine Beweistechnik in der Logik, bei der eine Aussage widerlegt wird, indem gezeigt wird, dass aus ihr ein logischer Widerspruch folgt.

Gruß
Faber