Das Prinzip des Seins

Nachstehend der Versuch einer Herleitung der bekannten Formel E=mc², die von Albert Einstein stammt. Vielleicht gibt es noch Fragen, Ideen oder Korrekturen.

Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema Äquivalenz von Masse und Energie.
Herleitung von E=mc²:
Problemstellung:
Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit
W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.

Unveränderliche Masse:
Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft
F=m*a
wie folgt:
W=m*a*s | und mit s=a/2t²
W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t
W=m*v²/2*t²=1/2*m*v²

Rechnet man mit Differentialen, dann gilt:

a=dv/dt
v=ds/dt
dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv

Nunmehr Integration:
W=m*∫v*dv=m*1/2*v²=1/2*m*v²

Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²

Relativistische Masse:

Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses p. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:

F=dp/dt und p=m*v
F=d(mv)/dt

Die Kinetische Energie ergibt sich aus:



Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens Partielle Integration. Hierzu die Formel:



Es wäre nun:
g'(v) = d(mv)/dv und g(v) = mv
f'(v) = 1 und f(v) = v

Also:
W = mv² - ∫ mv * dv

Die Masse m wird nunmehr als Relativistische" Masse:
m = m_0/√(1-v²/c²) geschrieben.

Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:

W = mv² - ∫ mv * dv = mv² - m_0*∫ v/√(1-v²/c²) * dv= mv² - m_0*c*∫ v/√(c²-v²)*dv = mv² - m_0*c*[-√(c²-v²)]_v_0=
mv²+m_0*c*{[√(c²-v²)]-c}= mv²+m_0*c²*√(1-v²/c²)- m_0*c²=mv²+m*√(1-v²/c²)*c²*√(1-v²/c²)-m_0c²=m(v²+c²*(1-v²/c²)- m_0*c²=
m*(v² + c² - v²) - m_0*c²= mc² - m_0*c²

Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms m_0*c² dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: W=mc² In anderer Schreibweise für Energie dann also:
E = m * c²

Bin momentan noch am Rechnen - so wäre das nur ein erster Ansatz - ohne Gewähr.

Hallo,

Also mit:
W = mv² - ∫ mv * dv
integriert von v=0 bis v=c ?
Sollte die Masse m auf die Geschwindigkeit c beschleunigen?
Beim HochBeschleunigen v->c wird doch m_0/√(1-v²/c²) → unendlich ?

Darf also vermutet werden, daß eine ÜberlichtGeschwindigkeitsPhysik die Trägheit eines Körpers effectiv zu 0 reduzieren können müßte ?

Freundliche Grüße

Rechnet man statt mit der unbestimmten Integration mit der bestimmten Integration zwischen w=0 und w=v folgt mit (die Integrationsvariable kann dann beliebig benannt werden, hier eben mit w):
W = mv² - ∫ mw * dw

als Ergebnis für die kinetische Energie:

W = mc² - m_0 c²

was richtig ist, denn macht man für v<<c die Näherung:

W = m_0 c² (1 + 0,5 v²/c² + ...) - m_0 c²

folgt für v<<c

W = m_0 0,5 v²

die aus der klassischen Mechanik bekannte Formel für die kinetische Energie.

Es findet eine Beschleunigung von 0 m/s bis v=v_end < c statt, wobei es egal ist, ob nun auf v_end=0,1*c oder v_end=0,99*c beschleunigt wird - die Formel W=E=mc² gibt den Energiebedarf.

Jetzt hatte ich nocheinmal gnadenlos alles durchgerechnet und komme so auf eine etwas andere Herleitung, die besonders auf der Integration durch Substitution beruht:

F=dp/dt=d(mv)/dt

F=d(mv)/dt=d(m_0/sqrt(1-v²/c²)*v)*dv/dv*/dt=
F=m_0[d(1/sqrt(1-v²/c²) * v)/dv*dv/dt]
......................(fg)'
___________________________________________________
Einschub Produktregel: (f*g)'=f'*g+f*g'

(f'g)'=d(1/sqrt)/dt * v + 1/sqrt * 1=d(1/sqrt)/dt*v + 1/sqrt

v/[c²*(1-v²/c²)^3/2]*v + 1/sqrt=
v²/{c²*(1-v²/c²)^3/2}+1/(1-v²/c²)^1/2=
=[v²+c²(1-v²/c²)]/ [c²*(1-v²/c²)^3/2]
=[v²+(c²-v²)/[c²*(1-v²/c²)^3/2]=
=c²/c²*(1-v²/c²)^3/2
=1/(1-v²/c²)^3/2
_________________________________________________

Somit:
F=m_0/(1-v²/c²)^3/2 *dv/dt

Wkin=Int (F*ds)_ve_0

s=v*t somit ds=v*dt

Wkin=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * dv/dt * v*dt

Wkin=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * v * dv )_ve_0
______________________________________________

Einschub Substitution: u=1-v²/c²
u'=-2v/c²
du/dv=-2v/c²
dv/du=-c²/2v
dv=-c²/2v * du
______________________________________________
Substitution einsetzen:

Wkin=m_0*Int(u^-3/2 * v * (-c²/2v) * du )

Konstanten nach vorne

Wkin=-m_0*c²*1/2*Int( u^-3/2 * du )

Wkin=-m_0*c²*1/2*[-2*u^-1/2]

Wkin=m_0*c²[u^-1/2]

Wiedereinsetzung u=1-v²/c²

Wkin=m_0*c²[(1-v²/c²)^-1/2]_ve_0

Wkin=m_0*c²[(1-ve²/c²)^-1/2 – 1]

Wkin=m_0*c²*(1-ve²/c²)^-1/2 – m_0*c²

Wkin=m_0*(1-ve²/c²)^-1/2 *c²- m_0*c²

Wkin=m*c² – m_0*c²

Da der Term m_0*c² wohl eine unbeschleunigte Masse bezeichnet - d.h. es wurde keine Energie rein gesteckt - kann er 0 gesetzt werden.

Wkin bezeichnet das Gleiche wie E

Somit:
Ekin=m*c² – m_0*c² ist die Beschleunigungs-Energie
E_0=m_0*c² ist die Ruheenergie
E=mc² ist die Gesamtenergie

Also:
E=m*c²

Leider falsch, denn m_0*c² ist nicht 0. Dazu muss entweder m_0 = 0 sein oder c = 0 sein, das ist nicht der Fall.

Du pinkelst den falschen Baum an. Lade deinen Gedankenmüll beim Urheber der Rechnung ab. Das ist Gerhard. Ich habe nur seine unbestimmte Integration als bestimmte Integration noch mal gerechnet. Reine Mathematik also, da gibt es nichts zu diskutieren.

Dazu finde ich die Aussage:

Siehe: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=9617

Also könnte man sagen:
E_0=m_0*c² ist die Ruheenergie
Ekin=m*c² – m_0*c² ist die Beschleunigungs-Energie
E=m*c² ist die Gesamtenergie

Ich habe dich nie für einen Physiker gehalten, sondern für eine Fachkraft für Kreislaufwirtschaft.