Die Lichtuhr

[Trigemina]

Gelesen und gelacht kann ich da nur sagen. Was ist an der Abbildung und der Erklärung mittel Pythagoras falsch? Die Anordnung der Spiegel! Wären die Spiegel wie bei der unbewegten Darstellung angeordnet, dann würde sich überhaupt kein Dreieck ergeben.

Btw:
Die Erklärungen laufen ja immer auf das gleiche heraus. Beobachter B sieht einen längeren Weg den das Licht zurücklegen muss als der unbewegte. Man holt, wie in diesem Beispiel den Pythagoras raus, deklariert c als immer gleich und schwupps haben Zeiten und Strecken ein Problem. Genial!

Der Weg für das Licht der ruhenden Uhr sei l. Die zurückgelegte Zeit sei Δt = l/c Nun betrachten wir den Lichtweg für die bewegte Lichtuhr vom Standpunkt eines ruhenden Beobachters aus. Dabei setzen wir voraus, dass sich das Licht nach allen Richtungen gleich schnell ausbreitet. Weil sich die Uhr weiter bewegt, legt das Signal in der bewegten Uhr einen größeren Weg zurück. Wir rechnen mit dem Lehrsatz von Pythagoras:

( c*Δt')^2 = (v*Δt')^2 + l^2

Δt' entspricht dem Zeitintervall, das der ruhende Beobachter für die bewegte Uhr beobachtet. Wir vereinfachen die Gleichung zu:

Δt'^2 = (β*Δt)^2 + (l/c)^2

indem wir die Geschwindigkeit v mit dem Betafaktor β=v/c ersetzen. Durch Ausklammern erhalten wir:

(1 - β^2) * Δt'^2 = (L/c)^2 = Δt^2

da Δt = l/c für die ruhende Uhr gilt, erhalten wir:

Δt' = γ*Δt mit γ = sqrt(1/( 1 - β^2 ))


Gruss

[Trigemina]

Wie kommt man überhaupt auf die Idee, die Resultierende, also die Hypothenuse des Dreiecks, mit einer der Katheten (also dem fahrenden Boot) gleichsetzen zu wollen und dann alles andere darum herum verändern zu wollen das es mathematisch wieder passt?

Kommt dir das nicht merkwürdig vor? Erscheint dir das nicht völlig willkürlich?

Nein. Wie schon im Text beschrieben geht das Beispiel mit der Lichtuhr auf das 2. Postulat Einsteins zurück:

Nun betrachten wir den Lichtweg für die bewegte Lichtuhr vom Standpunkt eines ruhenden Beobachters aus. Dabei setzen wir voraus, dass sich das Licht nach allen Richtungen gleich schnell ausbreitet.

Ich hätte diesen einen Satz gleich markieren sollen. Dieses 2. Postulat Einsteins (Invarianz von c in allen Inertialsystemen) drängte sich wie in einem anderen Thread beschrieben auf, weil mit der Galilei-Invarianz die Elektrodynamik nicht mehr kovariant beschrieben werden konnte und zuvor mit zahlreichen Äthermodellen erklärt wurde.

Gruss

P.S. Ein schlechtes Gewissen brauchst du nicht zu haben. Du argumentierst ja sachlich und nicht personenbezogen. Ausserdem antworte ich ja freiwillig darauf.

[Harald Maurer]

Wieso wird in solchen Beispielen die der Erklärung dienen sollen davon ausgegangen, dass das Licht sich mit dem bewegten System fortbewegt? Wie ist der Wirkungsmechanismus?

Das ist eine sehr gute Frage und kann nicht a la Trigemina lapidar damit beantwortet werden, dass Licht sich eben nach allen Richtungen gleich schnell ausbreite, denn das Licht in der Uhr könnte ja ein Laserstrahl sein, womit auch rätselhaft wird, wieso der Strahl den richtigen Winkel annimmt, um die bewegten Spiegel zu treffen...

Die Lichtuhr ist Blödsinn. Wenn sie umfällt, funktioniert sie nicht mehr richtig und läuft nur dann gleich wie aufrecht, wenn sie sich verkürzt (Lorentzkontraktion) - auch dann, wenn sich ein Beobachter vorbei bewegt. Und diese Verkürzung muss eine reale sein, keine scheinbare! Es ist aber nicht einzusehen, wieso sich eine umgefallene Lichtuhr real verkürzen sollte, bloß weil ein Beobachter vorbeiläuft

Mit der Lichtuhr habe ich mich schon mal hier http://www.mahag.com/srt/uhr.php beschäftigt.

Zu den Myonen wäre zu sagen, dass zur Zeit des ersten Experimentes (Rossi&Hall, 1941) die diversen Zerfallskanäle, die zu Myonen führen, noch gar nicht bekannt waren. So wurde erst sechs Jahre nach dem Rossi&Hall Versuch das Kaon (K-Meson) von W. M. Powell entdeckt, und es stellte sich heraus, dass dieses Kaon bereitwillig Myonen liefert - und zwar auch auf der Erdoberfläche. Es ist ein sogenanntes seltsames Teilchen. Seltsam deshalb, weil es nach den Erhaltungssätzen der Teilchenphysik eigentlich stabil sein müsste und gemäß dem "Erhaltungssatz der Seltsamkeit" dürfte es auch keinesfalls zu Myonen zerfallen. Es geschieht trotzdem. Damit ist seine Halbwertszeit ein höchst unzuverlässiger Wert. Erwähnt soll auch sein, dass Kaonen immer und überall dort entstehen, wo hochenergetische Mesonen mit Nukleonen zusammenstoßen. Die "Myonenbeweise" für die SRT sind auch schon deshalb fragwürdig, weil ihre Bewegung zur Erdoberfläche gar nicht geradlinig gleichmäßig erfolgt, da ihr Fallen gekrümmt und beschleunigt ist. Die SRT ist demnach gar nicht anzuwenden. Die Diskrepanz, die entsteht, wenn man freien Fall und waagrechten Wurf mit der SRT berechnet, war übrigens der Grund für Einstein, die Notwendigkeit der Berücksichtigung der Gravitation einzusehen und die ART in Angriff zu nehmen.
Nichtsdestotrotz werden Myonenexperimente sogar von Schulklassen durchgeführt und das Ergebnis als Bestätigung der SRT gefeiert. Jede Religion braucht halt ihre Rituale

Grüße
Harald Maurer

[Trigemina]

Das ist eine sehr gute Frage und kann nicht a la Trigemina lapidar damit beantwortet werden, dass Licht sich eben nach allen Richtungen gleich schnell ausbreite, denn das Licht in der Uhr könnte ja ein Laserstrahl sein, womit auch rätselhaft wird, wieso der Strahl den richtigen Winkel annimmt, um die bewegten Spiegel zu treffen...

Die Lichtuhr ist Blödsinn. Wenn sie umfällt, funktioniert sie nicht mehr richtig und läuft nur dann gleich wie aufrecht, wenn sie sich verkürzt (Lorentzkontraktion) - auch dann, wenn sich ein Beobachter vorbei bewegt. Und diese Verkürzung muss eine reale sein, keine scheinbare! Es ist aber nicht einzusehen, wieso sich eine umgefallene Lichtuhr real verkürzen sollte, bloß weil ein Beobachter vorbeiläuft

Es kann ja immer alles Mögliche und Unmögliche passieren. Und ob es sich um ein Laser- oder um ein ganz gewöhnliches Lichtsignal handelt, ist doch völlig egal. In Gedankenexperimenten, die der Illustration eines Sachverhaltes dienen, setzt man die Randwerte unter Vernachlässigung sonstiger möglicher Einflussgrössen idealisierend voraus. Im Übrigen ist Einsteins “Lichtuhr“ ein einfaches und anschauliches Gedankenexperiment, das die Zeitdilatation äusserst prägnant (auch mathematisch) erklärt.

Gruss

[Trigemina]

Da hab ich auch meine Schwierigkeiten die Einfachheit zu erkennen. Im Gegenteil, mir erscheint das Bootsbeispiel viel einfacher und logischer.

Es wundert mich nicht, dass das Bootbeispiel für dich logischer erscheint, da es Galilei-invariant ist. Die Lichtuhr geht allerdings nicht von langsam vor sich herdümpelnden Booten aus.

Gruss

[Trigemina]

Hallo Highway

Dein Beispiel im angegebenen Link setzt eine Relativgeschwindigkeit von c eines Massekörpers (Beobachter) voraus, die so nicht sein kann, da zur Erreichung von nahe bei c liegenden Relativgeschwindigkeiten ungeheure Beschleunigungsenergien aufgewendet werden müssen und für v=c unendlich viel Energie. Ich würde dir gerne ein konkretes (Zahlen-) Beispiel durchrechnen unter Angabe einer beliebigen Relativgeschwindigkeit von v<c.

Die mathematischen Herleitungen der Lorentz-Transformation und des Doppler-Effekts für elektromagnetische Wellen folgen aus den Postulaten Einsteins der Konstanz von c in allen Inertialsystemen sowie der Invarianz von c durch Transformation in ein anderes Inertialsystem unter Aufgabe eines irgendwie gearteten Äthers. Es wurden diverse Äthermodelle zur Erklärung elektrodynamischer Prozesse hinzugezogen, da mit der Galilei-Transformation Widersprüche auftraten und diese die geforderte Kovarianz der Maxwell-Gleichungen nicht erfüll(t)en.

Das Licht wird von relativ gegeneinander bewegten Koordinatensystemen nicht mitgeführt (nach der SRT), sondern es wird unabhängig vom Bewegungszustand mit den Massstäben und Uhren eines jeden Koordinatensystems konstant mit c gemessen, woraus sich die Lorentz-Transformationen sowie als Spezialfälle davon die Längenkontraktion (für gleiche Zeitpunkte) und die Zeitdilatation (für gleiche Orte) ergeben.


Herleitung der Transformationsgleichung für x

Ausgehend von den beiden Formeln für die Galilei–Transformation

x = x'+vt' bzw. x' = x−vt

macht man den folgenden Ansatz für die Transformationsgleichungen, die bei
sehr hohen („relativistischen“ ) Geschwindigkeiten gültig sein sollen:

x=γ*(x'+vt') bzw. x'=γ*(x−vt)

Der Ansatz rechtfertigt sich insofern, als dass einerseits das γ ein mathematischer Ausdruck sein muss, der sich für kleine Geschwindigkeiten immer mehr der 1 annähert, damit die neu zu findende Transformation in die obigen Gleichungen der Galilei–Transformation übergeht, andererseits muss der "Korrekturfaktor" γ in beiden Gleichungen derselbe sein, weil es sonst nicht egal wäre, welches der beiden Systeme man mit gestrichenen Koordinaten und welches man mit ungestrichenen Koordinaten versieht.
Um herauszufinden, welches γ die beiden Postulate von Einstein erfüllt, nimmt man zunächst an, dass die beiden Koordinatensysteme K und K’ zum Zeitpunkt t=t'=0 mit ihren beiden Koordinatenursprüngen O bzw. O’ zusammenfallen.
Sendet man nun zu diesem Zeitpunkt ein Lichtsignal in Richtung
der x– bzw. x'–Achse aus, so müssen für den Ort des Lichtsignals in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit t bzw. t' die beiden folgenden Gleichungen gelten:

x=ct bzw. x'=ct'

Diese beiden Gleichungen entsprechen dem zweiten einsteinschen Postulat, nämlich dass die Geschwindigkeit des Lichtstrahls in beiden Koordinatensystemen gemessen den Wert c ergeben muss.
Setzt man diese beiden Gleichungen in den obigen Ansatz ein, so erhält man das Gleichungssystem:

(1) ct=γ*(x'+vt')=γ*(ct'+vt')=γ*t'*(c+v)
(2) ct''γ*(x−vt)=γ*(ct−vt)=γ*t*(c−v)

Multipliziert man diese beiden Gleichungen miteinander, und dividiert anschliessend durch den gemeinsamen Faktor tt', so ergibt sich

c²tt'=γ²tt'(c²−v²) <--> γ²=c²/(c²−v²)=1/(1−v²/c²)

Insgesamt erhalten wir also für den gesuchten Korrekturfaktor

γ=sqrt(1/(1−v²/c²))


Herleitung der Transformationsgleichung für t

Ersetzt man in der soeben erhaltenen Transformationsgleichung für x', x'=γ*(x−vt), die Variable x durch den ihr zugeordneten transformierten Term

γ*(x'+vt')

so erhält man die Gleichung

x'=γ²x'+γ²vt'-γvt

Weitere Umformungen ergeben

x'=γ²*x'+γ²vt'−γvt
kvt=(γ²−1)*x'+γ²vt'
t=(γ²−1)/γ*x'/v+γt' = γ*((γ²-1)/γ²*x'/v+t') = γ((1-1/γ²)*x'/v+t') mit 1/γ²=1-v²/c²
t=γ*((1-1+v²/c²)*x'/v+t')
t=γ*(t'+v/c²*x')

Die Transformationsgleichung für t' erhält man entsprechend zu
t'=γ*(t-v/c²*x)



Doppler-Effekt:

Für beide Systeme gilt:

λ*f = λ’ * f’ = c

Die Wellenlänge λ’entspricht einem Ortsintervall Δx, die Frequenz f einem inversen Zeitintervall 1/ Δt:

Δx / Δt = Δx ’/ Δt’ = c

Die Lorentz-Trafo mit c=1 ergibt:

Δx’ = γ*( Δx-v*t) = γ*Δx*(1-v) = Δx*sqrt((1-v)/(1+v))

und für die Frequenz f: (Quelle und Beobachter entfernen sich voneinander)

f = f’ * sqrt((1-v)/(1+v))


Gruss

[Trigemina]

...
Ausgehend von den beiden Formeln für die Galilei–Transformation

x = x'+vt' bzw. x' = x−vt

macht man ...

Setzen wir x' = x−vt in die erste Gleichung (x = x'+vt') ein, so erhalten wir:

x= x−vt+vt'.

Daraus erhalten wir vt=vt' und t=t'.

Somit ist die SRT samt "relativistic Doppler" wieder einmal erledigt.

Gruß

Dann erhalten wir x=x, da nach der Galilei-Transformation t=t’ ist.

Gruss

[Trigemina]

x=x gilt immer und überall.

Na also. Man erhält aus deinem spassigen Ansatz x=x, da nach der GT t=t’ gilt, und eben nicht die herbeigesehnte Widerlegung:

Setzen wir x' = x−vt in die erste Gleichung (x = x'+vt') ein, so erhalten wir:

x= x−vt+vt'.

Daraus erhalten wir vt=vt' und t=t'.

Somit ist die SRT samt "relativistic Doppler" wieder einmal erledigt.

Ausserdem war ich an der zitierten Stelle der Herleitung zur LT immer noch bei der GT.

Gruss

[Trigemina]

Die Frage war also: Was sieht ein solcher Beobachter in B, oder besser - welchen Zeitpunkt sieht der Beobachter in B?

Der Beobachter in B sieht ein dopplerverschobenes Lichtsignal. Der Zeitpunkt des empfangenen dopplerverschobenen Lichtsignals kann über die Transformation der Zeit berechnet werden und gleicht im Ruhesystem der Lichtquelle einem Hase-Igel-Rennen, in dem der Beobachter B einen Vorsprung hat und vom Lichtstrahl eingeholt wird.

Im Ruhesystem der Lichtquelle (A) sieht dies so aus: Der dazu bewegte Beobachter B habe einen Vorsprung von s. Der Lichtimpuls wird zum Zeitpunkt t=0 abgestrahlt und legt dabei die gleiche Strecke x=c*t zurück wie die zurückgelegte Strecke v*t des Beobachters B plus seinem Vorsprung:

x = s + v*t = c*t

nach t aufgelöst ergibt sich die Zeit im Ruhesystem A:

t = s / (c - v)

Nun sind die Koordinaten des Beobachters B bestimmt und können über die Lorentz-Transformation der Zeit

t’ = γ * (t – v*x/c^2)

und der Strecke

x' = γ * (x - v*t)

ins dazu bewegte System des Beobachters B transformiert werden.

Welche Wellenmaximal sieht der reisende in B, wie arg sind diese gestaucht und ist die Stauchung auf der Längenskala konstant?

Er sieht das emittierte Licht auf der ganzen Länge gleich dopplerverschoben. Die Intensität nimmt natürlich im Quadrat zum Abstand ab. Das frequenzverschobene Lichtsignal hängt nur von der Sendefrequenz der Lichtquelle und ihrer Relativgeschwindigkeit zum Empfänger ab.
Das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz ist in jedem Koordinatensystem gleich c, womit man aus der Wellenlänge die Frequenz und umgekehrt berechnen kann.

Sprich sieht der der Beobachter Objekte die in seiner Nähe sind weniger blau verschoben als entfernte, oder nicht?

Diese Frage ist identisch mit der weiter oben gestellten Frage nach der Konstanz der Wellenstauchung.

Gruss

[Trigemina]

...

Nun sind die Koordinaten des Beobachters B bestimmt und können über die Lorentz-Transformation der Zeit

t’ = γ * (t – v*x/c^2)

und der Strecke

x' = γ * (x - v*t)

ins dazu bewegte System des Beobachters B transformiert werden.

...

Gruss

Werden nicht Wellenlänge und die Schwingungsdauer genauso transformiert?

Wenn nicht warum nicht?

Gruß

Nein, da die dopplerverschobene Frequenz unabhängig von der Abstrahlzeit (oder Empfangszeit) und des Abstandes (x oder x') ist, sondern nur von der Relativgeschwindigkeit zum Empfängersystem abhängig ist (und natürlich von der Abstrahlfrequenz der Quelle). Vielleicht siehst du das zugrundeliegende Prinzip besser wenn du dir mal deine Doppler-Rechung über den mitgeführten Äther anschaust, die quantitativ zum selben Ergebnis führt.

Für den Doppler-Effekt gilt in beiden Systemen:

λ*f = λ’ * f’ = c

Die Wellenlänge λ entspricht einem Ortsintervall Δx, die Frequenz f einem inversen Zeitintervall 1/ Δt:

Δx / Δt = Δx ’/ Δt’ = c

Die Lorentz-Trafo mit c=1 in natürlichen Einheiten ergibt:

Δx’ = γ*( Δx-v*t) = γ*Δx*(1-v) = Δx*sqrt((1-v)/(1+v))

und für die Frequenz f: (Quelle und Beobachter entfernen sich voneinander)

f = f’ * sqrt((1-v)/(1+v))
f = f’ * sqrt((1+v)/(1-v)) (Quelle und Beobachter nähern sich einanderr)


Gruss