Das Prinzip des Seins

Hallo Mathematiker,

ich habe da ein Problemchen – wer kann helfen?

A = X/[sqrt(1-v²/c²)] – X = (X²*v²)/(2*c²)
Aus der ersten Gleichung soll die zweite sich ergeben (unter Vernachlässigung von Größen vierter und höherer Ordnung).
Ich komme da nicht mit. Wenn ich c = 1 und v = 0,8 einsetze, ergibt sich eine Differenz von ca. 2 x A, bei v = 0,9 und höher wird noch schlimmer.

Gruß
Ljudmil

Über den Fehler ergibt das Restglied eine Abschätzung. Im konkreten Fall reicht die Betrachtung des nächsten Gliedes der Reihenentwicklung:

1/sqrt(1-y²) ist näherungsweise 1+y/2+y² * 3/8 + ...

D.h., dass für das konkrete Beispiel der Fehler mit der Ordnung O(0,64 * 3/8)=O(0,24) geht (max. 24%, gilt natürlich nur für v=0,8c).

Vorausgesetzt natürlich, dass die Formel richtig gerechnet wird, wie Chief vorgeführt hat.

Hallo Chief,

ja, das war ein blöder Tippfehler, richtig ist:

A = X/[sqrt(1-v²/c²)] – X = (X*v²)/(2*c²)


Hallo fb557ec...

Bei v=0,8 und c=1 bekomme ich links = 0,66X und rechts = 0,32X

Gruß
Ljudmil

Hallo scharo,

für v=0,8 und c=1 bzw. (v/c)²=0,64 konvergiert die Taylorreihe für

1/sqrt(1-(v/c)²)=1+1/2 (v/c)^2+3/8 (v/c)^4+35/128 (v/c)^6+63/256 (v/c)^8+231/1024 (v/c)^10+...

sehr langsam. Du musst halt entsprechend viele Glieder des Polynoms berücksichtigen, wenn du deine gewünschte Genauigkeit erreichen willst.

Hallo fb557ec.... ,

und das bedeutet, die von mir angegebenen Gleichungen sind nicht identisch.
Es nützt wenig, wenn sie nur bei kleinen v übereinstimmen. Bei kleinen v reicht ja auch Newton – man kann dann die Angelegenheit (Theorie) nach Newton entwickeln. Bei diesen Gleichungen handelt es sich um bestimmte relativistische Einsichten, wird relativistisch entwickelt, die Gleichheit der beiden Seiten ist die Grundlage des Resultats und es unterscheidet sich vom Resultat nach Newton.
Wie man aber sehen kann, übereinstimmen die Gleichungen gerade bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht, somit ist das „relativistische“ Resultat grottenfalsch.

Kannst Du raten, um was es sich dabei handelt?

Gruß
Ljudmil

scharo,

das ist Unsinn. Du verwendest eine Näherung. Eine Näherung, ist eine Näherung, weil sie das Original in gewissen Bereichen mit einer gewissen Genauigkeit annähert. Wenn dir die Näherung zu ungenau ist, verwende das Original. Dann ist nichts "grottenfalsch".

Hallo fb557ec... ,

nicht ich verwende diese Näherung! Was ich hier zeige, ist, dass diese „Näherung“ – s. die Gleichungen oben – für relativistische Betrachtungen nicht geeignet ist.
Und gerade diese ungeeignete Näherung ist die Grundlage der weltberühmtesten Behauptung des großen Kombinators.

Eben, das Original zeigt was ganz anderes. Bei v = 0,8c zeigt das „Original“ 0,66X, die „Näherung“ 0,32X; bei v = 0,9c – 1,3X zu 0,4X – hier von einer Näherung zu sprechen, ist wohl maßlos übertrieben.

Gruß
Ljudmil

Hallo Chief,


Nichts dagegen, wenn es so wäre. Hier liegt aber der Fall genau umgekehrt – es wird „relativistisch“ eine Formel über eine nicht näher bezeichnete Energie hergeleitet, die um den Faktor 2 mit der Ableitung nach Newton sich unterscheidet. Das aber, wie sich herausstellt, gerade bei niedrigen relativen Geschwindigkeiten.
Ergebnis bedingt durch diese „Näherung“:
Bei kleinen v > E = ca. mc²
Bei v = 0,6c > E = ca. ¾ mc²
Bei v = 0,8c > E = ca. ½ mc²
Bei v = 0,9c > E = ca. 1/3 mc²
Bei v = 0,99c > E = ca. 1/12 mc²

Nach Newton und egal bei welcher rel. Geschwindigkeit E = ½ mc²

E = Ekin_Strahlung = delta Ekin_Körper
m = m_Strahlung = delta m_Körper

Gruß
Ljudmil