Das Prinzip des Seins

von **julian apostata** » Mo 7. Aug 2023, 13:58

Weil das Thema Zwillingsparadoxon (anhand Peter Kroll (8)) wohl noch "ewig" diskutiert werden wird, möchte ich mal zu Teil 9
übergehen. Den find ich auch deswegen so interessant, weil dort E=mc² anhand des selben Gedankenexperimentes abgeleitet wird,
wie es Max Born schon 100 Jahre zuvor getan hat.
https://www.youtube.com/watch?v=gA686s162iI&t=1588s
Zunächst mal erklärt er den elastischen und unelastischen Stoß, bevor es ab 12:45 zum unelastischen Experiment kommt.
In Geogebra lässt sich das ganz einfach darstellen, wenn man über 3 Schieberegler (t positiv und negativ definiert) und
die Geschwindigkeiten v und u' positiv definiert.
Zunächst der Schwerpunkt.
S=(v t, 0)
und die beiden Massen
M_1=Wenn[t < 0, S + (u' t, 0), S]
M_2=Wenn[t < 0, S - (u' t, 0), S]
Die Formel die er dann an die Tafel schreibt, ergänz ich mal ein klein wenig.

$u_1'=-u_2'=u'\rightarrow u'=|u_1'|=|u_2'|$

Bei 19:18 hat er dann die Formel da stehen.

$m_1\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}+m_2\frac{-u'+v}{1-\frac{u'v}{c^2}}=(m_1+m_2)v$

Jetzt setzt mal in "Geogebra" u'=v und ihr werdet sehen: m_2 bewegt sich in S nicht mehr. Warum Peter Kroll
diese Gleichsetzung nicht schon hier vollzieht, sondern erst bei 25:16, das ist mir ein Rätsel. Ich mach also
seinen Umweg erst gar nicht mit und mit u'=v wird aus obiger Gleichung:

$m_1\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}=(m_1+m_2)v\rightarrow m_1\frac{2}{1+\frac{v^2}{c^2}}=m_1+m_2\rightarrow \frac{m_2}{m_1}=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}}$

Jetzt macht er das da (u_1 ist die Geschwindigkeit von m_1 in S).

$u_1=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}\rightarrow\phantom{xxxxxxxx}\frac{u_1^2}{c^2}=\frac{\frac{4v^2}{c^2}}{\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)^2}$

Und mittels quadratischer Ergänzung

$\frac{m_2}{m_1}=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}}\rightarrow \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 =1-\frac{\frac{4v^2}{c^2}}{\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)^2}$

Und dann werden die letzten beiden Gleichungen miteinander verbunden.

$\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2=1-\frac{u_1^2}{c^2}\rightarrow m_1=\frac{m_2}{\sqrt{1-\frac{u_1^2}{c^2}}}$

Mit anderen Worten: Die stoßende (Impuls)Masse ist die ruhende Masse geteilt durch den Wurzelfaktor.

Bei 32:50 steht dann an der Tafel:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

wobei mit dem v natürlich nicht das v in der Ableitung gemeint ist.
Und in den nächsten paar Minuten benutzt Peter Kroll ein Taylorpolynom. Man gebe in "Geogebra" ein.
f=1 / sqrt(1 - x²)
TaylorReihe[f, 0, 8]
"Schwanzlänge" 8 heißt in dem Fall 4 Zusatzglieder zur 1.
1 + x² / 2 + x⁴ 3 / 8 + x⁶ 5 / 16 + x⁸ 35 / 128
Bei v<<c reicht ein Zusatzglied.

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\rightarrow m\sim m_0+\frac{1}{2}m_0\frac{v^2}{c^2}\rightarrow\Delta m\sim\frac{1}{2}m_0\frac{v^2}{c^2}\rightarrow\Delta m\cdot c^2=E_{kin}$

So weit erst mal für heute. Vielleicht ist der Vortrag von Peter Kroll auch ohne meine Erläuterungen verständlich.
Und wenn nicht, so stehe ich gerne für Fragen zur Verfügung.

von **julian apostata** » Di 8. Aug 2023, 10:53

Und hier möchte ich nochmal zeigen, dass man dasselbe Gedankenexperiment wesentlich einfacher und anschaulicher
durchführen kann, wenn man sich auf 2 Variablen beschränkt.

Bild

Die rechte Masse ruht in S. Der Schwerpunkt (in der Mitte des Kastens) bewegt sich mit der Geschwindigkeit u auf
rechte Masse zu.
Im Schwerpunktsystem S' bewegt sich die linke Masse auf den Schwerpunkt zu. Am besten man leitet erst mal zwei Beziehungen
zwischen v und u ab.

$\\v=\phantom{xxxxxxxxx}\frac{2u}{1+\frac{u^2}{c^2}}\qquad\text{"Geschwindigkeitsverdopplung"}\\[15pt]1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{2}{1+\frac{u^2}{c^2}}\qquad\text{"Übergangsgleichung"}\\[15pt]\frac{v}{1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\phantom{xx}u\qquad\text{"Geschwindigkeitshalbierung"}$

Ich denke, man kann sofort sehen, dass wenn man die erste Gleichung durch die zweite teilt, dann die dritte rauskommt.
Aber wie kommt man auf die Übergangsgleichung?

$\\v=\frac{2u}{1+\frac{u^2}{c^2}}\rightarrow\frac{v}{c}=\frac{\frac{2u}{c}}{1+\frac{u^2}{c^2}}=\frac{2uc}{c^2+u^2}\\[15pt]\frac{v^2}{c^2}=\frac{4u^2c^2}{c^4+2c^2u^2+u^4}\rightarrow 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{c^4-2c^2u^2+u^4}{c^4+2c^2u^2+u^4}=\frac{(c^2-u^2)^2}{(c^2+u^2)^2}\\[15pt]\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{c^2-u^2}{c^2+u^2}\rightarrow 1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{2c^2}{c^2+u^2}=\frac{2}{1+\frac{u^2}{c^2}}$

Et voila: Die Lücke ist geschlossen. Und wie kommt man jetzt von der "Geschwindigkeitshalbierung" zum relativistischen Impuls?
Die Antwort ist extrem simpel. Vielleicht mag sie bis morgen jemand anders geben.

von **julian apostata** » Mi 9. Aug 2023, 12:19

Es sei M die Impulsmasse der linken Masse vor dem Stoß und m dir rechte Masse vor dem Stoß.

$\\M\boxed{v}=(M+m)u=(M+m)\frac{\boxed{v}}{1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\rightarrow\\[15pt]M\left(1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)=M+m\rightarrow \boxed{M}+M\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\boxed{M}+m\rightarrow\\[15pt]M=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\rightarrow Mv=p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Das wäre dann der Impuls vor dem Stoß

$M+m=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m=m\frac{c^2+u^2}{c^2-u^2}+m=m\left(\frac{c^2+u^2}{c^2-u^2}+1\right)$

Wer der letzten Umformung nicht folgen kann, der schaue sich nochmal die Herleitung der Übergangsgleichung an

$\\M+m=m\left(\frac{c^2+u^2}{c^2-u^2}+1\right)\rightarrow(M+m)u=\tilde{p}=\frac{2mu}{1-\frac{u^2}{c^2}}$

Aber moment mal. Sollte der Nenner von p_Schlange nicht auch unter einer Wurzel stehen, genau wie bei p?
Nein, da schaue man nochmal bei Peter Kroll ab 11:00 rein. Da steht rechts vom Impuls noch die verwandelte kinetische
Energie, die nun zu thermischer Energie geworden ist. Und genau die Masse dieser thermischen Energie hält im Nenner versteckt.

$\tilde{p}=\frac{2mu}{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{\boxed{\frac{2m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\sim\frac{\boxed{2m+m\frac{u^2}{c^2}}u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

Für u<<c gilt also: Jede der beiden Stoßmassen liefert also eine kleine Zusatzmasse (m/2)*(u²/c²) ab. Und diese multipliziert
mit c² entspricht der abgegebenen kinetischen Energie.

von **Rudi Knoth** » Do 10. Aug 2023, 07:20

Danke für diesen Ausflug in die relativistische Dynamik. Dazu fallen mir noch einige Gedanken ein:

1. "Halbe Geschwindigkeit". Diese kann man im Prinzip auch dadurch erhalten, daß man aus der nach dem Additionstheorem berechneten Geschwindigkeit, die "halbe Geschwindigkeit" mit Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung berechnet.. Allerdings erhält man dann zuerst eine seltsam anmutende Lösung:

$v= \frac {c^{2}}{u}\cdot (1-\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}})$

Durch Multiplikation mit 1 in Form eines Bruchs mit:

$(1+\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}})$

In Zähler und Nenner erhält man dann die von dir genannte "halbe Geschwindigkeit". Denn durch diese Multiplikation kann der Ausdruck in der Wurzel direkt von der 1 abgezogen werden und man hat dann das Quadrat von u/c, was dann mit c**2/u multipliziert u ergibt. Damit kann man dann die 1. Gleichung für den Fall u=v so umforment, daß man die gewünschte Beziehung zwischen m1 und m2 erhält.

2. Etwas Anekdotisches. In der Schule wurde die Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit z´bis zur bekannten Formel e=mc**2 ebenfalls mit dem inelastischen Stoß durchgenommen. In der Vorlesung der Theoretischen Physik (Mechanik 1) wurde für dieses Thema der Viererimpuls eingeführt. Damit wirkte die Herleitung mathematisch etwas einfacher. Allerdings ist dies dann eher "abstrakt" als der Weg über ein Gedankenexperiment.

Gruß
Rudi Knoth

von **julian apostata** » Do 10. Aug 2023, 13:59

Rudi Knoth hat geschrieben:1. "Halbe Geschwindigkeit". Diese kann man im Prinzip auch dadurch erhalten, daß man aus der nach dem Additionstheorem berechneten Geschwindigkeit, die "halbe Geschwindigkeit" mit Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung berechnet.. Allerdings erhält man dann zuerst eine seltsam anmutende Lösung:

$v= \frac {c^{2}}{u}\cdot (1-\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}})$

Durch Multiplikation mit 1 in Form eines Bruchs mit:

$(1+\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}})$

In Zähler und Nenner erhält man dann die von dir genannte "halbe Geschwindigkeit".

Stimmt. Mit Hilfe der binomischen Formel (a-b)(a+b)=a²-b² geht das.

Ich hab jetzt auch ein interaktives Minkowskidiagramm gebastelt, welches im Prinzip dasselbe zeigt,
wie die Animation da oben. Über Minkowski kann sich aber vielleicht so mancher die Sache ein wenig
besser vorstellen.

https://www.geogebra.org/m/drn6s53h

Hier ein kleiner Ausschnitt.
Bild

von **bumbumpeng** » Do 10. Aug 2023, 19:00

julian apostata hat geschrieben:Stimmt. Mit Hilfe der binomischen Formel (a-b)(a+b)=a²-b² geht das.

Naja, man lernt immer wieder was dazu. Ich werd das mal in meine Formelsammlung aufnehmen.

von **Rudi Knoth** » Do 10. Aug 2023, 19:38

Das ist eindeutig Mathematik der Mittelstufe.

Gruß
Rudi Knoth

von **bumbumpeng** » Do 10. Aug 2023, 21:09

Ich kann bisher KEINEN PRAKISCHEN NÄHRWERT erkennen.

E=mc² hat Null Bedeutung. Ist völlig nutzlos.
Man zeige mir ein Anwendungsbeispiel. Eine exakte Berechnung.
Mit irgendwelchen Formeln um sich schmeißen, wo der Bezug zur Realität fehlt?
Wer macht sowas?
Mal sehen, ob der allwissende Mc noch Fragen hat?

0,8 c in der Animation. Ich will sehen. Wieder nix. Wozu dann der ganze Müll. Spinnerei.

von **Rudi Knoth** » Fr 11. Aug 2023, 06:17

@bumbumpeng » Do 10. Aug 2023, 21:09

Also du solltest dich mal über die Experimente in Teilchenbeschleunigern und Schwerionenbeschleunigern informieren. Dort sind Geschwindigkeiten von 0,8c nicht ungewöhnliches. Und deshalb werden dort auch Energien gemessen, die weit oberhalb der kinetischen Energie nach Newton liegen.

Gruß
Rudi Knoth

von **julian apostata** » Fr 11. Aug 2023, 11:57

Jetzt schaun'mer mal, ob wir "halbes v" auch über quadratische Ergänzung hin kriegen.

$\\v=\frac{2u}{1+\frac{u^2}{c^2}}\rightarrow u^2-2\frac{uc^2}{v}+\boxed{\frac{c^4}{v^2}}=\boxed{\frac{c^4}{v^2}}-c^2\rightarrow\left(u-\frac{c^2}{v}\right)^2=\frac{c^4}{v^2}-c^2\\[15pt]\rightarrow\frac{c^2}{v}-u=\sqrt{\frac{c^4}{v^2}-c^2}\rightarrow u=\frac{c^2}{v}-\sqrt{\frac{c^4}{v^2}-c^2}=\frac{c^2}{v}-\frac{c^2}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\[15pt]\rightarrow u=\frac{c^2}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$

Das Zwischenergebnis ist nicht so recht befriedigend, weil es nicht nach etwas "Halbem" ausschaut. Zum Glück gibt's
aber folgende binomische Formel: (a-b)(a+b)=a²-b²

$\\u=\frac{c^2}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{\left(1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)}{\left(1+\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}\right)}=\frac{c^2}{v}\frac{\frac{v^2}{c^2}}{\left(1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)}\\[15pt]u=\frac{v}{1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Und jetzt sieht man sofort, was Sache ist! Für v<<c steht da: u~v/2
Und für v nahe c erhält man u~v. Das heisst: Der stoßende Körper hat eine so hohe Impulsmassse, dass dieser
kaum mehr abgebremst wird (fast wie beim Zusammenstoß eines Auto mit einer Mücke).

https://www.geogebra.org/m/drn6s53h
Es hat übrigens seinen Grund, warum ich 0.6<=v<=0.8 definiert habe.
Es sei S' das Ruhesystem des Schwerpunktes. Man beachte die kurze Gleichzeitigkeitslinie.
Stellt mal v=0.6 ein. Die Stoßmassen dringen S'-gleichzeitig in den Schwerpunktbereich ein.
Danach legen beide 1 Raumeinheit während 3 Zeiteinheiten zurück. Das macht u=c/3
Stellt mal v=0.8 ein. Die Stoßmassen dringen S'-gleichzeitig in den Schwerpunktbereich ein.
Danach legen beide 1 Raumeinheit während 2 Zeiteinheiten zurück. Das macht u=c/2

Nachdem die Massen zusammengestoßen sind, setzen sie ihre Reise gemeinsam fort.

Das Prinzip des Seins

E=mc² (Peter Kroll und Max Born)

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