Die Lorentz-Transformation
(und warum sie zu funktionieren scheint...)

Der Astronom Bradley konnte schon 1728 die Lichtgeschwindigkeit mit hoher Genauigkeit mit seiner Beobachtung der Aberration des Lichtes messen. Analog zum Regen, der, wenn man steht, von oben kommt, und der, wenn man läuft, schräg von vorne fällt, ändert das Licht seine Einfallsrichtung. Aus der Winkeländerung kann auf die Lichtgeschwindigkeit geschlossen werden, wenn man seine Eigengeschwindigkeit kennt.

Auf ähnliche Weise kann man die Entfernung eines Sterns berechnen, wenn man den Winkel misst, der sich dort bildet, wo das Licht des Sterns sich mit dem bewegten Beobachter trifft. Dazu muss die Lichtgeschwindigkeit und jene des Beobachters (bzw. der Erde) bekannt sein. Der Rest ist Trigonometrie oder der Lehrsatz des Pythagoras...

Betrachten wir ein ähnliches gelagertes, einfaches Beispiel. Ein weit entfernter Stern bildet mit der Beobachterstrecke (B-Z) ein Dreieck. Wir bezeichnen die Strecke zum Stern mit AB. Der Stern sendet zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Lichtstrahl aus. Aus der Ecke B bewegt sich der Beobachter zur gleichen Zeit (vorausgesetzt das wäre möglich), in Richtung C und soll sobald das Licht aus A zu ihm gelangt, stoppen - also am Punkt Z. Aus dem Pythagoras bilden wir eine einfache Formel für die Berechnung der Strecke AB, wozu wir nur die Zeit messen müssen, bis der Beobachter den Lichtstrahl wahrnimmt.

Diese (rot umrahmte) Formel wird einigen bekannt vorkommen. Sie enthält nichts anderes als den berühmten Lorentz-Faktor - den wir da so ganz ohne Relativität und Inertialsystemtricks entdeckt haben. Dieser aus dem Verhältnis v/c stammende Faktor gibt an, um wieviel die Strecke AZ aufgrund der Licht- und Beobachterbewegung länger ist. Wir werden diesem Faktor bald wieder begegnen, wenn wir uns die Lichtwege im Michelson-Interferometer genauer anschauen:

Michelson nahm an: Die Lichtwellen pflanzen sich im Äther fort, und weil sein Interferometer durch den ruhenden Äther fährt, werden die Lichtsignale nicht gleichzeitig die Spiegel erreichen. Alle Lichtsignale entfernen sich im ruhenden Äther vom Zentrum des Interferometers mit gleicher Geschwindigkeit, der Spiegel von hinten nähert sich und wird als erstes erreicht, nachher werden die beiden Spiegel an der Seite getroffen und am Schluss der vordere, der sich entfernt. (v = Geschwindigkeit des Interferometers, c = Lichtgeschwindigkeit)

Nach hinten braucht das Licht eine Zeit "T_rück", um den Spiegel zu erreichen. In dieser Zeit hat sich der Spiegel zusammen mit dem Instrument um eine Distanz "T_rück*v" genähert. Für die zurückgelegte Distanz gilt dann:

(2)

Der reflektierte Lichtstrahl fährt jetzt nach vorne und trifft auf das Zentrum nach einer Zeit "T_vor". In dieser Zeit hat sich das Zentrum zusammen mit dem Instrument um eine Distanz "T_vor * v" entfernt und für diese Distanzen gilt:

(3)

Die totale Zeit in Richtung der Bewegung zwischen der Sendung und dem Empfang des Signals ist die Summe beider Werte (2) + (3): Also:

(4)

Nach vorne sind die Teilzeiten umgekehrt aber die Summe identisch.
Schauen wir uns nun die Zeiten der Querarme an, die Michelson erwartet hatte: Die Spiegel an den Seiten (quer) werden nach einer Zeit "T_quer" getroffen

(5)

Der Lichtstrahl wird nach der Reflexion das Zentrum nach einer identischen Zeit erreichen. Die totale Zeit beträgt deshalb das Doppelte dieses Wertes. Michelson dachte, er könne das Experiment durchführen, die Resultate messen und die verschiedenen Zeitdifferenzen und somit die Existenz des Äthers bestätigen. Bekanntlich gelang ihm dies nicht in dem vorausgesagten Ausmaß. Der innerhalb der Fehlergrenze liegende Wert von 8 km/s wurde als Nullresultat interpretiert - und dies zu Recht, denn ein anderes Resultat wäre auch nicht zu erwarten gewesen, weil die Anwendung der Galilei-Addition aufgrund des fixe-space-delay-Verhaltens des Lichts (nur konstant in Bezug auf den Absolutraum!) unzutreffend war. Siehe dazu Bild und Text im Aufsatz zum Michelson-Versuch>>> und lesen Sie danach wieder hier weiter.

Die Strecken der Querarme werden also aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, bezogen "auf sich selbst" bzw. zum Absolutraum (oder zum Äther, oder zur Matrix, je nach Anschauung!) etwas länger (gelbe Linie)! Die Bewegung des Instrumentes beeinflusst zwar die Emissionsrichtung des Lichtstrahls, aber nicht seine Geschwindigkeit (wie das bei einem Masse-Körper der Fall wäre!). Aus den Formeln (4) und (5) erhalten wir in der Praxis daher dieselben Werte.

In dieser Formel ist v die Geschwindigkeit des Instrumentes (bzw. der Erde), ein eindeutiger Wert. c ist die Geschwindigkeit des Lichtes; gemäss den Messresultaten schien diese in jeder Richtung identisch und wurde deshalb als eine "Konstante" definiert. Für die mathematische Behandlung dieser Formel bleibt daher nur die Möglichkeit, zwischen den Distanzen in Richtung der Bewegung "R_vor" und jene an die Seite "R_quer" zu differenzieren.

(6)

Mit dieser Veränderung der Distanzen würden die Strahlen die gleichen Zeiten bis zum Zentrum brauchen. Oder wir gehen davon aus, dass die Distanzen normal bleiben und sich die Zeit ändert. Die Zeit in Richtung der Bewegung "T_vor" liefe dann langsamer (Dilatation) als in der senkrechten Richtung "T_quer". Übrigens, den Faktor unter dem Bruchstrich kennen wir schon: den haben wir zu Beginn dieses Aufsatzes ganz simpel entdeckt. Es ist der Lorentz-Faktor.

Aus der Formel (3) ist R:

Wir ersetzen diesen Wert in der Formel (5):

und dividieren Zähler und Nenner durch "c"

Um gemäss der Formel (1) "T_vor * c" durch "x" ersetzen zu können, mulitiplizieren wir das zweite Glied des Zählers mit "c/c":

(7)

Damit erhalten wir nichts anderes als die Formeln der Lorentz-Transformation:

u.

Wir mussten in der ersten Formel (gem. (1)) bloß "T_vor*c" durch "x" ersetzen. Die zweite Formel ist bereits "fertig". Wir verstehen damit die Herkunft der Lorentz-Transformation und sehen auch, dass es keine "echte" Herleitung dieser Formeln geben kann, weil sie auf einer willkürlichen Annahme beruhen (Strecken- od. Zeitveränderung, Einführung der lokalen Zeit vx/c² ). Interessanterweise sehen wir aber auch, dass diesen Formeln sehr wohl eine reale physikalische Ursache zugrunde gelegt werden kann, nämlich die tatsächliche Strecken-Verlängerung des Lichtlaufes in den Querarmen, die wir fixed-space-delay-Effekt nennen könnten. Damit wird klar, wieso die Lorentz-Transformationen immer in Fällen, wo man es mit fortgepflanzten Impulsen (Licht, em-Wellen) zu tun hat, auch "funktionieren" - also angewendet werden können (oder sollen).

Hat das irgend etwas mit Veränderungen von "Raum" oder "Zeit" oder folglich mit der Speziellen Relativitätstheorie zu tun?

Nicht im Geringsten!