Spacerat hat geschrieben: Die Lichtlaufzeit wird nicht doppelt berücksichtigt. Sie ist bereits in der LT enthalten.
Sicher nicht! Zumindest als ich das so behauptet hatte, hattest du, Harald und einige andere stets etwas dagegen
Ja, da habe ich etwas dagegen, weil die Lichtlaufzeit in der LT keine Rolle spielt - wie Yukterez ganz richtig anmerkte! Und zwar ist die Lichtlaufzeit für den Vorgang der Messung ("Wahrnehmung", "Sehen") bedeutungslos. Die LT ergibt sich nur aus dem Postulat, also aus der Forderung
x=ct bzw. x'=ct'
Die LG muss also gemessen in den beiden Koordinatensystemen jeweils c ergeben.
Setzt man diese beiden Gleichungen ein in die GT mit k als Umrechnungsfaktor zwischen den Systemen
x = k ·(x'+vt') bzw. x' = k ·(x−vt)
so erhält man das Gleichungssystem:
(1) ct = k ·(x'+vt') = k ·(ct'+vt') = kt' ·(c+v)
(2) ct' = k (x−vt) = k ·(ct −vt) = kt ·(c−v)
Multiplikation dieser beiden Gleichungen mit anschließender Division
durch den gemeinsamen Faktor tt' ergibt
c²tt' = k²tt'(c²−v²) <--> k² =c²/c²−v² = 1/1-v²/c²
Der Umrechnungsfaktor ist demnach
k =sqrt(1-v²/c²)
Somit die LT für x' bzw. x
bzw.
Relativität der Gleichzeitigkeit:
Die RdG entstammt aus der Einsteinschen Synchronisationskonvention von Uhren. Nehmen wir an, in einem Koordinatensystem mit einer Länge von 2 LS wird von der Mitte aus bei x=0, t=0 je ein Lichtstrahl zu einer Uhr an einem Ende x=1 LS und zum anderen Ende x=-1 LS gesendet, dann wird im Ruhesystem S jede Uhr 1 s anzeigen. Für ein mit 0,5 c relativ bewegtes IS S' sieht das anders aus: hier wird gesehen, dass sich eine Uhr dem Lichtsignal entgegen bewegt und die andere Uhr dem Licht davonläuft. Gilt c=const nur im IS S, dann müsste in S' einerseits 0,66... s und andererseits 2 s als Zeitpunkte gemessen werden, in welchen die Signale die Uhren erreichen. Damit würde aber in S' c+/-v gemessen, was ja nicht sein darf, nachdem c=const auch in S' zu gelten hat. Diese Werte sind daher zu korrigieren, und den Korrekturfaktor haben wir oben schon kennen gelernt. Wir korrigieren daher: 0,66..·sqrt(1-v²/c²) und erhalten 0,57735 s und 2·sqrt(1-v²/c²) ergibt 1,73205 s. Damit ergeben sich mit c auch die Ereigniskoordinaten für S', nämlich 0,57735 LS und -1,73205 LS - und das sind auch genau die Werte, die sich aus der LT ergeben !
Die Formel für t'
errechnet zuerst mit t-v/c²x die Werte 0,5 und 1,5 und korrigiert dies mit /sqrt(1-v²/c²), womit sich ebenfalls die Werte 0,57735 s und 1,73205 s ergeben. D.h. mit der GT ergeben sich die Laufstrecken für die Synchronsignale mit
x'=x-vt 299792,459-149896,229 x'= 149896,229 und
-299792,458-149896,229 x'= -449688,687, diese Strecken geteilt durch c ergäben 0,5 s und 1,5 s. Geteilt jeweils durch den Lorentzfaktor ergeben sich wiederum t'=0,57735 s und t'= 173205 s und damit die entsprechenden x'-Koordinaten.
Damit ist insgesamt die Forderung x=ct bzw. x'=ct' erfüllt. Eine Lichtlaufzeit vom Ereignis zu einem allfälligen Beobachter gibt es daher nicht! Der Lorentzfaktor lässt schlicht und einfach c+/-v verschwinden.
Grüße
Harald Maurer