Ernst hat geschrieben:Faber hat geschrieben:
x0(tn) = γ(n) (xn(tn) + v(n) tn)
y0(tn) = yn(tn)
z0(tn) = zn(tn)
t0(tn) = γ(n) (tn + v(n)/c² xn(tn))
Die Zeit t0 ist die Zeit in IS0, d.h. also t0 = t = nΔt. Aus der letzten Gleichung ermitteln wir tn(t0) und erhalten durch Einsetzen in die ersten drei Gleichungen x0(t0),y0(t0),z0(t0). Das sind die gesuchten Koordinate des Körpers im Zielsystem IS0 zum jeweiligen Zeitpunkt t0 gemäß der Uhr von IS0. Wir verwenden die inversen Transformationsformeln, da ISn gegenüber IS0 mit v(n) bewegt ist und somit IS0 gegenüber ISn mit -v(n).
Habe ich Sie soweit richtig verstanden?
Ja, das entspricht genau meinem Vorschlag.
Schön, dann schauen wir uns das einmal genauer an.
Wir hatten vorausgesetzt, dass unser Körper K in den Bezugssystemen ISn, n = 1..N jeweils ruht. Wir benutzen ein jedes dieser Bezugssysteme nur in einem infinitesimalen Zeitintervall. Während diesem Intervall ruht der Körper K im entsprechenden System ISn, während er in IS0 kurzfristig gleichförmig geradlinig bewegt ist. Die Koordinaten xn(tn), yn(tn), zn(tn) sind also gar nicht zeitabhängig, denn es sind die Koordinaten eines in ISn ruhenden Körpers. Wir schreiben also anstelle von xn(tn), yn(tn), zn(tn) übersichtlicher xn, yn, zn. Weiterhin reden wir von ein und demselben Körper, der sukkzessive jeweils im entsprechenden infinitesimalen Zeitintervall der Reihe nach in den Bezugssystemen ISn, n = 1..N ruht. Daher hängen die Koordinaten nicht von n ab. In all diesen Bezugssystemen handelt es sich jeweils um die Koordinaten der Ruhegeometrie des Körpers K. Wir schreiben also anstelle von xn, yn, zn übersichtlicher x, y, z. Oder vielleicht lieber xr, yr, zr, um anzudeuten, dass die Ruhegeometrie des Körpers gemeint ist. In unseren Transformationsformeln setzen wir nun xr, yr, zr ein:
x0(tn) = γ(n) (xr + v(n) tn)
y0(tn) = yr
z0(tn) = zr
t0(tn) = γ(n) (tn + v(n)/c² xr)
Diese Vereinfachung erlaubt es uns, die Zeitgleichung t0(tn) zu invertieren, so dass wir tn(t0) explizit erhalten:
tn(t0) = t0 / γ(n) - v(n)/c² xr
Damit erhalten wir die Koordinaten x0, y0 und z0 direkt in Abhängigkeit von t0:
x0(t0) = γ(n) (xr + v(n) [t0 / γ(n) - v(n)/c² xr])
y0(t0) = yr
z0(t0) = zr
Die Gleichungen für y0 und z0 bleiben erwartungsgemäß trivial. Die Gleichung für x0 vereinfachen wir:
x0(t0) = γ(n) (xr + v(n) [t0 / γ(n) - v(n)/c² xr])
<=>
x0(t0) = γ(n) (xr + v(n) t0 / γ(n) - v²(n)/c² xr)
<=>
x0(t0) = γ(n) xr + v(n) t0 - γ(n) v²(n)/c² xr
<=>
x0(t0) = (1 - v²(n)/c²) γ(n) xr + v(n) t0
<=>
x0(t0) = γ(n)/γ²(n) xr + v(n) t0
<=>
x0(t0) = xr/γ(n) + v(n) t0
Insgesamt erhalten wir:
x0(t0) = xr/γ(n) + v(n) t0
y0(t0) = yr
z0(t0) = zr
Nun sind wir soweit, dass wir die blöden Nullen weglassen können, die unser Zielsystem, das Inertialsystem IS0 kennzeichnen. Wir schreiben, dasselbe meinend:
x(t) = xr/γ(n) + v(n) t
y(t) = yr
z(t) = zr
Wegen t = nΔt können wir die Geschwindigkeit v(n) genausogut als v(t) und ebenso γ(n) als γ(t) schreiben:
x(t) = xr/γ(t) + v(t) t
y(t) = yr
z(t) = zr
Mit diesen Gleichungen erhalten wir für jede Koordinate (xr;yr;zr) der Ruhegeometrie des Körpers K für jeden Zeitpunkt t (t = t0) in IS0 die Koordinaten des korrekt transformierten und daher korrekt kontrahierten Körpers. Die ganzen vielen anderen Inertialsysteme ISn, n = 1..N tauchen gar nicht mehr auf und wurden dennoch berücksichtigt.
Sie werden es jetzt vielleicht bereits ahnen, Ernst: Ihr Vorschlag entspricht exakt genau dem Verfahren, mit dem die Animationssoftware ScænaSRT aus Galilei-Szenen vollautomatisch Einstein-Szenen errechnet. Den in der Galileiszene bewegten Körpern wird die Geschwindigkeit durch Abzug von v(n) t geraubt, so dass sie ruhen, und dann werden genau die o.g. Gleichungen angewendet, um die einsteinische Szene zu erhalten.
Ernst hat geschrieben:Zu beachten ist, daß bei beliebiger Bewegungsrichtung der Objekte die Relativgeschwindigkeit v(n) allgemein zu jedem verschiedenen Zeitpunkt und für jeden Objektpunkt eine andere Richtung besitzt (z.B. bei Drehung). Es müssen daher die KSe für jeden Zeitpunkt und für jeden Objektpunkt in Richtung v gedreht werden. Dannach müssen die sich ergebenden Koordinaten wieder ins nichtgedrehte Koordinatensystem umgerechnet werden. Rechnerisch recht komplex.
Nicht wirklich sooo sehr komplex. ScænaSRT realisiert genau das. Die Formeln zur Drehung/Transformation/Rückdrehung hatte ich ja bereits verlinkt. Wegen der Indizes schreibe ich sie hier nicht an, in HTML sieht das besser aus:
Zu den Transformationen, die ScænaSRT durchführt. Siehe dort unter
`Ruhendes' einsteinsches Inertialsystem E.
Ich freue mich, dass Sie hier nun genau das vorgeschlagen haben, was ich in der Animationssoftware ScænaSRT realisiert habe. Die Animationen, die im Eingangsbeitrag dieses Strangs dargestellt bzw. verlinkt sind, zeigen das Resultat Ihres Vorschlags. Dazu kommt auch die Animation mit dem Titel `Bezugssystemwechsel', die ich auf Seite 3 vorgestellt hatte:
Damit haben wir endlich eine stattliche gemeinsame Gesprächsgrundlage. Auf Ihren Kommentar zu meiner inzwischen neuen Heransgehensweise werde ich bald eingehen. Ich bin von dem Verfahren, das ScænaSRT anwendet, einstweilen nur begrenzt überzeugt, dazu aber später dann mehr.
Gruß
Faber