Ernst sein ist alles

Hier wird die Relativitätstheorie Einsteins kritisiert oder verteidigt

Kreisgeschwindigkeit = Fluchtgeschwindigkeit auf r = 4

Beitragvon Yukterez » So 16. Jul 2017, 14:00

Peter hat geschrieben:Also wenn einer der Zwillinge bei r=2rs mit c/2 um ein Schwarzes Loch fliegt ist er um 0.612 jünger als der im Weltraum schwebende Zwilling, stimmt das so?

Prinzipiell passt das so, allerdings wäre es billiger mit v=1/√2 um das schwarze Loch zu fliegen, das wäre dann nämlich die Kreisbahngeschwindigkeit v⊥=√((1/r)/(1-2/r)) bei r=4.

Bild

Fliegt man einfach so und ohne Gravitation mit c/√2 im Kreis bleibt man um den Faktor γ=1/√2 jünger (linkes Bild). Bleibt man stationär auf r=4 bleibt man ebenfalls um γ jünger (mittleres Bild). Fliegt man mit der zu r=4 passenden Kreisbahngeschwindigkeit ums schwarze Loch ist man am Ende sogar um γ², also genau um die Hälfte jünger als der zuhause gebliebene Zwilling.

Illustrierend,

Bild
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Das Halb-, Falsch- und Unwissen des Nocheinpoet

Beitragvon Yukterez » So 16. Jul 2017, 14:16

Bild hat geschrieben: Einige steigen dann auch aus, da macht man sich die Dinge mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit in der SRT klar, verstehst es endlich und dann wird das in der ART gleich wieder einkassiert. :D

Die Lichtgeschwindigkeit ist in einem beschleunigten Bezugssystem schon in der SRT nicht konstant, und Gravitation ist äquivalent zu Beschleunigung Bild
So hat es auch Albert Einstein (der mit dessen Avatar sich der Poet schmückt) hergeleitet, was man normalerweise schon im ersten Kapitel lernt Bild

Zurückblätternd,

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Re: Ernst sein ist alles

Beitragvon Peter » Mo 17. Jul 2017, 06:17

Fliegt man einfach so und ohne Gravitation mit c/√2 im Kreis bleibt man um den Faktor γ=1/√2 jünger (linkes Bild). Bleibt man stationär auf r=4 bleibt man ebenfalls um γ jünger (mittleres Bild). Fliegt man mit der zu r=4 passenden Kreisbahngeschwindigkeit ums schwarze Loch ist man am Ende sogar um γ², also genau um die Hälfte jünger als der zuhause gebliebene Zwilling.

Das 2. und 3. Bild zeigt wohl ein Schwarzschild-SL. Was würde sich ändern wenn das SL mit sagen wir mal a=M im Uhrzeigersinn rotieren würde?
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gravitative und kinematische Zeitdilatations-Komponenten

Beitragvon Yukterez » Mo 17. Jul 2017, 09:23

Yukterez hat geschrieben:Prinzipiell passt das so, allerdings wäre es billiger mit v=1/√2 um das schwarze Loch zu fliegen, das wäre dann nämlich die Kreisbahngeschwindigkeit v⊥=√((1/r)/(1-2/r)) bei r=4. Fliegt man einfach so und ohne Gravitation mit c/√2 im Kreis bleibt man um den Faktor γ=1/√2 jünger (linkes Bild). Bleibt man stationär auf r=4 bleibt man ebenfalls um γ jünger (mittleres Bild). Fliegt man mit der zu r=4 passenden Kreisbahngeschwindigkeit ums schwarze Loch ist man am Ende sogar um γ², also genau um die Hälfte jünger als der zuhause gebliebene Zwilling.
Peter hat geschrieben:Das 2. und 3. Bild zeigt wohl ein Schwarzschild-SL. Was würde sich ändern wenn das SL mit sagen wir mal a=M im Uhrzeigersinn rotieren würde?

Dann müssen wir der Vollständigkeit halber 3 Testpersonen zum schwarzen Loch bringen:

  • 1) einen der relativ zum schwarzen Loch stationär auf r=4, θ=π/2, Ф=ω·t korotiert
  • 2) einen der relativ zum daheimgebliebenen Beobachter stationär auf r=4, θ=π/2, Ф=0 schwebt und
  • 3) einen der mit der zu r=4, a=1 passenden Kreisgeschwindigkeit von v=13/27 prograd um die Mitte kreist
Der Onkel unserer 3 Drillinge bleibt in weiter Entfernung und bei vernachlässigbarer Gravitation zu den Fixsternen stationär.

  • 1) dieser Drilling bleibt um den Faktor 1/ς=3√(2/35)=0.717137, dem der rein gravitativen ZD, jünger als ein Daheimgebliebener
  • 2) er muss mit v=1/6 gegen die Rotation des Raumzeitstrudels schwimmen. Die totale ZD lautet daher √(1-v²)/ς=1/√2
  • 3) da die lokale Geschwindigkeit hier v=13/27 beträgt ist die totale ZD hier √(1-v²)/ς=4√2/9=0.628539
Bei Fall 2 tritt also bei a=1 die gleiche ZD auf wie im letzten Beispiel mit a=0, nur dass sich diese Zahl hier nicht nur aus der rein gravitativen, sondern auch aus der lokal kinematischen Komponente zusammensetzt. Hier wurde der Boyer-Lindquist-Radius r=4 verwendet. Mit dem kartesischen Radius R=4 wobei sich am Äquator r=√(R²-a²) ergibt würden sich allerdings keine so schönen runden Brüche und Übereinstimmungen mit Schwarzschild ergeben.

Vor- und nachrechnend,

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Das Drillingsparadoxon

Beitragvon Yukterez » Mo 17. Jul 2017, 11:51

Um das trockene Thema mit ein paar Bildern aufzulockern noch eine Animation zum oberen Beispiel: ist der relativ zu den Fixsternen Stationäre (der muss gleichzeitig nach oben beschleunigen und lokal gegen die Drehrichtung der zentralen Masse fliegen um ein konstantes r,Ф zu halten), auf der gestrichelten Bahn der relativ zum schwarzen Loch Stationäre (der muss nur in radialer Richtung beschleunigen um ein konstantes r zu halten) und mit dem Schweif der der sich im Orbit befindet (der muss gar nichts tun da er sich im freien Fall befindet).

Bei Schwarzschild fallen FIDO und ZAMO zusammen, während FREFO unter Schwarzschild den Inklinationswinkel frei wählen, bei Kerr aber nur in prograder Richtung und auf der Äquatorebene einen perfekten Kreisorbit fliegen kann (retrograd müsste er bei a=1, r=4 bereits lokale Lichtgeschwindigkeit haben).

Bei jeder Begegnung auf der Kreisbahn können unsere Drillinge ihre Bartlängen miteinander vergleichen, wobei stets den längsten, und den kürzesten Bart hat:

Bild

Zur besseren Übersicht in Dezimalzahlen: | v=0.166667, ZD=0.707107 | v=0, ZD=0.717137 | v=0.481481, ZD=0.628539 |

Plottend,

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Re: Ernst sein ist alles

Beitragvon Peter » Di 18. Jul 2017, 07:01

3) da die lokale Geschwindigkeit hier v=13/27 beträgt

Wo steht das mit der Kreisbahngeschwindigkeit? Ich habe Stunden nach einer Formel dafür gesucht und nichts gefunden! Gefunden habe ich nur den Spezialfall http://www.physics.nus.edu.sg/~phyteoe/kerr/ für r(v) mit v=c. Das kann ich aber nicht auf v(r) umstellen. Kannst du mir einen Link, oder gerne auch mehrere, dazu geben? Danke im Voraus!
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v(r)

Beitragvon Yukterez » Di 18. Jul 2017, 10:29

Peter hat geschrieben:Wo steht das mit der Kreisbahngeschwindigkeit?

Nirgends, aber es steht wohl auch nirgendwo etwas Gegenteiliges. Nachdem ja klar ist dass die radiale Beschleunigung auf einer Kreisbahn 0 ist wird die radiale Impulsableitung einfach auf pr'(τ)=0 gesetzt und nach v aufgelöst:

Code: Alles auswählen
v=vφ; vθ=0; μ=-1; θ=π/2;
Solve[0==(((r^2+a^2)μ-k)(r-1)+r Δ μ+2r(r^2+a^2) ε^2-2 a ε Lz)/(Σ Δ)-(0 (r-1))/Σ && a>0 && a<1 && r>1+Sqrt[1-a^2], vφ, Reals]

Aus dieser impliziten Darstellung ergibt sich dann ein mehrzeiliges multivariates Polynom:

Code: Alles auswählen
F[a_,r_]:=(a^8-8 a^6 r+16 a^4 r^2+4 a^6 r^2-16 a^4 r^3+6 a^4 r^4-8 a^2 r^5+4 a^2 r^6+r^8+(-2 a^8-4 a^6 r+16 a^4 r^2-22 a^6 r^2+32 a^4 r^3-2 a^6 r^3-42 a^4 r^4+52 a^2 r^5-6 a^4 r^5-18 a^2 r^6-6 a^2 r^7+4 r^8-2 r^9) #1^2+(a^8-4 a^6 r+4 a^4 r^2+2 a^6 r^2-4 a^4 r^3-2 a^6 r^3+9 a^4 r^4-8 a^2 r^5-4 a^4 r^5+8 a^2 r^6+a^4 r^6-6 a^2 r^7+4 r^8+2 a^2 r^8-4 r^9+r^10) #1^4&)

dessen erste Nullstelle die retrograde Kreisgeschwindigkeit in Abhängigkeit von r und a ist:

Code: Alles auswählen
vretro[a_,r_]:=Root[F[a,r],1]

und dessen dritte Nullstelle die prograde:

Code: Alles auswählen
vprogr[a_,r_]:=Root[F[a,r],3]

Da ist es natürlich ein Segen dass es Computer gibt.

Peter hat geschrieben:Kannst du mir einen Link, oder gerne auch mehrere, dazu geben? Danke im Voraus!

Ich habe das jetzt auch auf meiner eigenen Seite geupdatet und explizit ausgeschrieben, jetzt kannst du das in dem Link den ich dir bereits gegeben habe nachlesen. Dort stehen dann auch die Defintionen der Erhaltungsgrößen ε, Lz und k in Abhängigkeit von den lokalen Geschwindigkeitskomponenten. Hier der neue Plot der jetzt alle a zeigt (beim Draufklicken wird a=0 und a=1 pausiert). x=r, y=v und die graue vertikale Hilfslinie zeigt den Horizont bei r=1+√(1-a²):

Bild

Updatend,

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Re: Ernst sein ist alles

Beitragvon Peter » Di 18. Jul 2017, 11:41

Warum sind es bei a=1 plötzlich nur mehr c/2? Bei a=0,9 sind es noch c und ganz am Ende nur mehr die Hälfte? Ist es jetzt doch so wie Andreas Müller sagt?

http://www.spektrum.de/astrowissen/lexdt_e05.html
Am Horizont selbst rotiert alles mit der exakt identischen Winkelgeschwindigkeit wie das Schwarze Loch. Ausgedrückt in Geschwindigkeiten ist das im Falle des extremen Kerr-Lochs (a = M) exakt die halbe Vakuumlichtgeschwindigkeit (Bardeen, Press & Teukolsky 1972).

Warum wird es erst immer mehr und dann ganz kurz vor a=1 wieder weniger? Jetzt bin ich vollkommen verwirrt :o
Dateianhänge
c.jpg
c.jpg (15.93 KiB) 1429-mal betrachtet
0,5c.jpg
0,5c.jpg (14.78 KiB) 1430-mal betrachtet
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Müller vs Bardeen

Beitragvon Yukterez » Mi 19. Jul 2017, 07:17

Peter hat geschrieben:Warum sind es bei a=1 plötzlich nur mehr c/2? Bei a=0,9 sind es noch c und ganz am Ende nur mehr die Hälfte?

Das ist die Kreisbahngeschwindigkeit eines freifallenden Testpartikels im prograden zirkulären Orbit. Man kann auch schneller vorbeifliegen, aber dann wird man eben aus dem System geschleudert, genau so wie man wenn man langsamer ist abstürzt.

Peter hat geschrieben:Warum wird es erst immer mehr und dann ganz kurz vor a=1 wieder weniger? Jetzt bin ich vollkommen verwirrt

Abgesehen davon dass das ein ganz anderes Thema ist (die benötigte lokale Kreisbahngeschwindigkeit im Orbit um die zentrale Masse anstatt die Drehgeschwindigkeit der zentralen Masse selbst) braucht man sich auch davon nicht verwirren zu lassen, denn der maximale Spin ist sowieso a=0.998, da sieht man dann auf welche Art die Kurve konvergiert:

Bild

Aber auch wenn es sich auf dem Plot nicht um die Orbitalgeschwindigkeit des Testpartikels sondern um die Rotationsgeschwindigkeit der zentralen Masse handeln würde (was es nicht tut) wäre die Aussage

Abenteuer Universum hat geschrieben:Als Andreas Müller seine Dissertation schrieb, stand ich noch in regem Kontakt mit ihm. Er hat dort sehr viel gerechnet und hat seinerzeit nochmals bewiesen (gegenüber anderer Lehrmeinungen), dass Maximal-Kerr gleich c/2 ist - mehr geht einfach nicht. Also, was soll's? c/2 bleibt für mich bestehen. Zeh Halbe: die offizielle Hausmeinung ist diese, nicht mit dem Hausherren verscherzen die offizielle Physik dazu ist von Bardeen et al

trotzdem falsch, denn selbst wenn die Rotationsgeschwindigkeit bei steigendem Spin geringer würde (was sie nicht wird) dann wäre die maximale Rotationsgeschwindigkeit nicht die des nie erreichten a=1, sondern eben die des noch erreichten a<1. Ich verstehe wirklich nicht was so schwer daran ist die Eigenrotation der zentralen Masse und den Orbit eines Partikels um diese Masse auseinander zu halten!

Peter hat geschrieben:Ist es jetzt doch so wie Andreas Müller sagt?

Willst du mich ärgern? Bis jetzt hast du so gute Fragen gestellt, und jetzt so was. Wenn du glaubst dass Andreas Müller mit seiner Aussage dass c/2 die maximale Rotationsgeschwindigkeit eines schwarzen Lochs c/2 sei so wie er es hier:

Andreas Müller, mit dem falschen Radius multiplizierend, hat geschrieben:In beiden Extremfällen, a=-1 oder a=+1, rotiert der Horizont am Äquator mit der halben Lichtgeschwindigkeit (Bardeen, Press & Teukolsky 1972)!

komplett falsch und hier

Andreas Müller, Kraut und Rüben durcheinandermischend, hat geschrieben:Am Horizont selbst rotiert alles mit der exakt identischen Winkelgeschwindigkeit wie das Schwarze Loch. Ausgedrückt in Geschwindigkeiten ist das im Falle des extremen Kerr-Lochs (a = M) exakt die halbe Vakuumlichtgeschwindigkeit (Bardeen, Press & Teukolsky 1972).

halb richtig und halb falsch (der erste Satz stimmt abgesehen von den falschen Zahlen zumindest im Bezugssystem des weit entfernten Koordinatenbeobachters, für den die lokale Geschwindigkeit auf 0 dilatiert und die Abstände des schwarzen Loch kontrahiert sind. Im System des Freifallenden sieht es natürlich ganz anders aus. Der zweite Satz ist leider komplett falsch) behauptet recht haben könnte dann kannst du mir ja die Stelle im Bardeen wo Müller das angeblich her haben will zeigen, ich habe c/2 dort nur im Zusammenhang mit

James Bardeen, S. 356 (PDF S. 10) hat geschrieben:For all a, vφ increases (but not monotonically!) from 0 at r=∞ to 1 (the speed of light) at the circular photon orbit. Another interesting point is that vφ at the innermost stable r (the velocity of the most tightly bound circular orbit) goes to c/2 (not to 1!) in the limit a=1M. The point once again is that for a=1M, the marginally stable orbit and the photon orbit are distinct.
James Bardeen, S. 358 (PDF S. 12) hat geschrieben:If a star is taken initially on a bound, stable orbit in the equatorial plane, there can be no energy extraction from its breakup unless hydrodynamical boosts of c/2 occur.
James Bardeen, S. 358 (PDF S. 12) hat geschrieben:The most bound plunge orbit that is astrophysically plausible has E=mc²/√3. Such an orbit is bounded away from the negative energy states by |v|≥c/2. Thus, energy extraction cannot be achieved unless hydrodynamical forces or superstrong radiation reactions can accelerate fragments to more than this speed during the infall.

gefunden. Nur steht da halt was ganz anderes als was Müller dort anscheinend gelesen hat:

Andreas Müller, mit dem falschen Radius multiplizierend, hat geschrieben:In beiden Extremfällen, a = -1 oder a = +1, rotiert der Horizont am Äquator mit der halben Lichtgeschwindigkeit (Bardeen, Press & Teukolsky 1972)!

Das steht im gesamten Bardeen nirgendwo, wenn doch wüsste ich gern auf welcher Seite. An einer anderen Stelle:

Andreas Müller, diesmal richtig hat geschrieben:Jedes Objekt, vorausgesetzt es hat verschwindenden Bahndrehimpuls, z.B. bestimmte Teilchen oder manche Photonen, rotiert aus dem Unendlichen betrachtet mit dieser Frame-Dragging-Frequenz um die stationäre Gravitationsquelle. Den Radius des Kreises aus dem Gedankenexperiment identifiziert man gerade mit dem Zylinderradius (in Boyer-Lindquist-Koordinaten symbolisiert durch ω mit Schlange darüber). Bardeen nannte diese Größe proper circumferential radius, also soviel wie 'Umfangseigenradius' (der zum Umfang des Kreises gehört).

schreibt Andreas Müller es dann wieder richtig, vermutlich ist er bereits dabei die Fehler auf die ich ihn per E-Mail hingewiesen habe auszubessern (unhöflicherweise hat er mir aber nicht auf meine Mail geantwortet). Dass die Winkelgeschwindigkeit ω=c³/G/M/2 ist, und der Umfangseigenradius am Äquator des Horizonts unabhängig vom a immer Ř=2GM/c² ist dürfte also unstrittig sein. Damit sollte es dann auch nicht mehr allzu schwer sein ω und Ř miteinander zu multiplizieren. Sag du mir selber ob dabei c/2 rauskommt!

Nicht dran glaubend,

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Neues aus dem Alltopic

Beitragvon Yukterez » Mi 19. Jul 2017, 07:25

Bild hat geschrieben:Na bitte, geht doch mit c/2. Peter ist auch ganz erstaunt

Jetzt siehst du was für Idioten du mit deiner undurchdachten Frage auf den Plan gerufen hast!

Hoffend dass du keiner von denen bist,

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