Kräfte messen - Frage zum Inlinerbild

Hier werden andere Standardmodelle der Physik kritisiert oder verteidigt

Die Einsteinleugner bekommen Newton-Nachhilfe

Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 18:07

Bild hat geschrieben:Viel Spass beim Lösen.

Na wenn hier eh nur noch alte Beiträge hin und her gespammt werden kann ich die Gelegenheit ja nutzen um hier wieder ein bisschen Übersicht zu schaffen:

Bild hat geschrieben:1. kleine Amplituden

Wenn die initialen Winkel klein sind können die höheren Terme vernachlässigt werden und die Schwingungsdauer ist für alle Pendel annähernd gleich.

Winkel nach Zeit:



Schwingungsdauer:



Position nach Zeit:

Bild

In den Rechnungen wird g = 10 m/sek² und r = 1 m gesetzt. Alle Winkel sind in Radianten angegeben. Die Schweiflänge ist 1/20 Sekunde (je höher die Geschwindigkeit desto länger der Schweif). Code:

Code: Alles auswählen
(* Syntax: Mathematica || yukterez.net *)

θ[t_, θ0_] := θ0 Cos[Sqrt[g/r] t]
x[t_, θ0_] := +Sin[θ[t, θ0]] r
y[t_, θ0_] := -Cos[θ[t, θ0]] r

g = 10; r = 1; θ1 = -π/8; θ2 = -π/6; θ3 = -π/4;

Do[Print[Rasterize[Grid[{{Show[
      Graphics[
     {LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, θ1], y[τ, θ1]}}]},
       PlotRange -> {{-1.1 r, 1.1 r}, {-1.1 r, 0 r}},
        Frame -> True, ImageSize -> 420],
      Graphics[
     {LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, θ2], y[τ, θ2]}}]}],
      Graphics[
     {LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, θ3], y[τ, θ3]}}]}],
      Graphics[{LightGray, Dashed, Circle[]}],
      ParametricPlot[{
        {x[t, θ3], y[t, θ3]},
        {x[t, θ2], y[t, θ2]},
        {x[t, θ1], y[t, θ1]}
        }, {t, Max[0, τ - 0.05], τ},
      PlotStyle -> {{Opacity[0.5], Red}, {Opacity[0.5], Cyan}, {Opacity[0.5], Blue}}]
      ]}, {"t" -> Evaluate[τ]}}, Alignment -> Left]]],
     {τ, 0.01, 2 π Sqrt[r/g], 0.01}]


2. beliebig hohe Amplituden

Bei höheren Startwinkeln können die höheren Terme nicht mehr vernachlässigt werden. Für die höchste Genauigkeit wird integriert; nach einem halben Zyklus (-θ[sub]0[/sub]..+θ[sub]0[/sub]) kehrt sich bei gleichbleibender Funktion einfach die Richtung des Pendels um.

Die vom momentanen Winkel abhängige Zeit bei Startwinkel ist:



Für eine volle Periode (die Zeit bis das Pendel wieder an seiner Ausgangsposition angekommen ist) gilt daher:



Position nach Zeit:

Bild

Dauer nach Winkel (x: Winkel, y: Zeit):

Bild

Zeitlicher Unterschied zur Kleinwinkelapproximation bei steigendem Startwinkel (Integral/Vereinfachung):

Bild

Die x-Achse hat die Einheit Radiant (für Grad mit 180/π = 57.3 multiplizieren): bei einem Startwinkel von 45° liegt der Unterschied in der Periodendauer bei 4%, bei 90° bereits bei 18% und bei knapp unter 180° liegt der Faktor sogar bei 2п.

Code zur Animation:

Code: Alles auswählen
(* Syntax: Mathematica || yukterez.net *)

set = {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100,
  Method -> "GaussKronrodRule"}; n = 100;

int[f_, {x_, xmin_, xmax_}] :=
  Quiet[NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}, Method -> set,
    MaxRecursion -> n]];

t[φ_, θ0_] := Sqrt[r/(2 g)] int[1/Sqrt[Cos[θ] - Cos[θ0]], {θ, φ, θ0}];
α[т_, θ0_] := Quiet[Re[λ /. FindRoot[t[λ, θ0] - т, {λ, θ0}]]];

x[т_, θ0_] := Quiet[+Sin[α[т, θ0]]] r;
y[т_, θ0_] := Quiet[-Cos[α[т, θ0]]] r;

g = 10; r = 1; δ = 3 π/4; ε = π/2; κ = π/4;

Do[Print[Rasterize[Grid[{{Show[
       Graphics[{LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, δ], y[τ, δ]}}]},
        PlotRange -> {{-1.1 r, 1.1 r}, {-1.1 r, 1.1 r}},
      Frame -> True, ImageSize -> 420],
       Graphics[{LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, ε], y[τ, ε]}}]}],
       Graphics[{LightGray, Line[{{0, 0}, {x[τ, κ], y[τ, κ]}}]}],
       Graphics[{LightGray, Dashed, Circle[]}],
       ParametricPlot[{
         {x[T, κ], y[T, κ]},
         {x[T, ε], y[T, ε]},
         {x[T, δ], y[T, δ]}
       },
        {T, Max[0, τ - 0.05], τ},
        PlotStyle -> {{Opacity[0.5], Red}, {Opacity[0.5], Cyan}, {Opacity[0.5], Blue}}]]},
     {"t" -> Evaluate[τ]},
     {"δ" -> Evaluate[α[τ, δ]]},
     {"ε" -> Evaluate[α[τ, ε]]},
     {"κ" -> Evaluate[α[τ, κ]]}},
    Alignment -> Left]]],
{τ, 0.01, 3, 0.01}]


3. Pendel mit Initialgeschwindigkeit

Wird dem Pendel bei Position eine initiale Winkelgeschwindigkeit mitgegeben ergibt sich



Damit das Integral bei mehr als einer Umrundung nicht zusammenbricht wird bei ausreichender Initialgeschwindigkeit gesetzt, und



Bei einem schwingenden Pendel ohne Überschlag kann in der Formel für stattdessen auch einfach und gesetzt werden.

Bild

Beispiel: einem Pendel mit Radius r = 1 m im Schwerefeld der Erde von g = 9.8 m/sek² wird zum Zeitpunkt t = 0 bei der Auslenkung θ[sub]i[/sub] = 170° eine Umlaufgeschwindigkeit von v = 1 m/sek verpasst.

Nach Hausnummer 8 sek befindet es sich bei der Position φ = -21.461 rad, oder in Grad: Mod[-Ceiling[φ/π]·π,φ]·180/π = -149.646°. Animation: t=0..8.png

Bild

Numerische Umkehrfunktion von t(φ) auf φ(t) und animierter Plot für einen abgeschlossenen Umlauf, der in diesem Beispiel 2.1637 sek dauert:

Bild

Die Schweiflänge in der Animation beträgt 1/10 sek. Code:

Code: Alles auswählen
(* Syntax: Mathematica || yukterez.net *)

g = 98/10; r = 1; θ0 = π; θi = 170/180 π; ωi = 1;

set = {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100, Method -> "GaussKronrodRule"}; n = 100;
int[f_, {x_, xmin_, xmax_}] := Quiet[NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}, Method -> set, MaxRecursion -> n]];
Clear[ω];

F[θ_, θ0_] := Sqrt[(2 g (Cos[θ] - Cos[θ0]))/r + ω^2];
t[φ_, θ0_] := int[F[θ, θ0]^-1, {θ, φ, θ0}];
α[т_, θ0_] := Quiet[Re[λ /. FindRoot[t[λ, θ0] - т, {λ, θ0}]]];

ω = Solve[F[θi, θ0] == ωi, ω][[1]][[1]][[2]];

x[т_, θ0_] := Quiet[+Sin[α[т, θ0]]] r;
y[т_, θ0_] := Quiet[-Cos[α[т, θ0]]] r;

tu = 2 t[0, θ0]; "Umlaufzeit" -> tu "sek"
ti = t[θi, θ0];

Plot[{t[w, θ0] - ti}, {w, -3 π, +3 π},
PlotStyle -> Red, Frame -> True, ImageSize -> 420, GridLines -> {Table[π n, {n, -5, 5}], None}]
(* Zeit nach Winkel *)
   
Plot[{α[T + ti, θ0]}, {T, -4 t[0, θ0], +4 t[0, θ0]},
PlotStyle -> Red, Frame -> True, ImageSize -> 420, GridLines -> {None, Table[π n, {n, -5, 5}]}]
(* Winkel nach Zeit *)

Do[Print[Rasterize[Grid[{{Show[

       Graphics[{Gray, Dashed, Circle[]},
                 PlotRange -> {{-1.1 r, 1.1 r}, {-1.1 r, 1.1 r}},
                 Frame -> True, ImageSize -> 420],
       Graphics[{Gray, Line[{{0, 0}, {x[τ, θ0], y[τ, θ0]}}]}],
       
       ParametricPlot[{{x[T, θ0], y[T, θ0]}}, {T, τ - 0.1, τ},
                 PlotStyle -> {{Opacity[1], Red}}]]},
                 
     {"t" -> Evaluate[τ - ti]},
     {"x" -> Evaluate[x[τ, θ0]]},
     {"y" -> Evaluate[y[τ, θ0]]},
     {"ψ" -> Evaluate[α[τ, θ0]]},
     {"ω" -> Evaluate[F[α[τ, θ0], θ0]]}},
    Alignment -> Left]]],
   
{τ, 0 + ti, tu + ti, 0.01}]

Bild, Bild
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Ernst & Chief

Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 18:34

Bild hat geschrieben:de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel

Dort steht leider auch nur: "Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Integrale".

Bild hat geschrieben:Also, weißt du überhaupt was du willst?

In Anbetracht von

Bild hat geschrieben:Gesucht ist eine analytische Lösung (numerische haben wir schon).

will ich natürlich bei Ernst nachfragen:

Bild hat geschrieben:Wenn dich irgendwann mal die Ahnung überfällt, daß solche Probleme zuerst mal geschlossen zu lösen sind, anstatt mit deinem Zahlen-Firlefanz zu beginnen, kannst du mal wieder nachfragen, wie man dabei vorgeht.

Also: wie geht man dabei vor, wenn man Ernst heißt?

Bild, Bild
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Re: Kräfte messen - Frage zum Inlinerbild

Beitragvon JuRo » Fr 25. Mär 2016, 18:41

Chief hat geschrieben:PS: Löse mit Wolfram diese Gleichung:

BildBild

:lol: :lol: :lol:
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Die Ablenkungsmanöver der IQ=150 Partie

Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 19:13

Nichts leichter als das, aber aufgrund deiner Filtereinstellungen wirst du nicht viel davon haben.

Beim Thema bleibend,

Bild
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1/150

Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 20:04

Bild hat geschrieben:Welchem Thema? V+v=V-v oder wie?

Ich äußere mich nur zu Newton und der Relativitäts-, Quanten- oder Stringtheorie. Deine eigene schwachsinnige Theorie solltest du lieber in einem passenden Faden und mit solchen Leuten wie JuRo belabern.

Nicht zuständig,

Bild
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Re: Yukterez traut sich nicht auf die Bühne

Beitragvon JuRo » Fr 25. Mär 2016, 20:06

Yukterez hat geschrieben:Nichts leichter als das, aber aufgrund deiner Filtereinstellungen wirst du nicht viel davon haben.

Beim Thema bleibend,

:lol: :lol: :lol:
Das wird schon eine Pussy-Lösung sein.

Einstein hat geschrieben:Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von k im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit V - v, so daß gilt:


Einstein hat geschrieben:Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit V fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei.


:lol: :lol: :lol:
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1/150²

Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 20:17

Bild hat geschrieben:Das wird schon eine Pussy-Lösung sein.

Sehr intelligent, aber so was gibt es weder bei Einstein noch bei Putin.

Bild, Bild
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Re: Einstein's Pussies

Beitragvon JuRo » Fr 25. Mär 2016, 20:25

Yukterez hat geschrieben:
Bild hat geschrieben:Das wird schon eine Pussy-Lösung sein.

Sehr intelligent, aber so was gibt es weder bei Einstein noch bei Putin.

Bild, Bild

:lol: :lol: :lol:

Phantasiere weiter :!: :lol: :lol: :lol:

P.S. Wie erklärst du dir, dass nach Einstein's Megadeath V + v und V - v gilt?
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Beitragvon Yukterez » Fr 25. Mär 2016, 20:53

Bild hat geschrieben:Dann, könntest du mal erklären was Newtonsche Trägheitskraft ist

Ich bin nicht der mit dem IQ von 150, sondern du.

Zur Abwechslung einmal dir den Vortritt lassend,

Bild
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Re: Yukterez erkennt Einstein's Megadeath nicht

Beitragvon JuRo » Fr 25. Mär 2016, 22:26

Yukterez hat geschrieben:
Welchem Thema? V+v=V-v oder wie?

Ich äußere mich nur zu Newton und der Relativitäts-, Quanten- oder Stringtheorie. Deine eigene schwachsinnige Theorie solltest du lieber in einem passenden Faden und mit solchen Leuten wie JuRo belabern.

Nicht zuständig,

Warum nicht zuständig? Das ist doch was Einstein selbst in seiner Megadeath sagt:

Einstein hat geschrieben:Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von k im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit V - v, so daß gilt:

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