Ein Stab der Länge L bewege sich mit einer Geschwindigkeit v parallel zu einem ruhenden Loch, das ebenfalls die Breite L besitzt. Gleichzeitig bewegt sich der Stab noch mit einer kleinen, senkrechten Geschwindigkeit ε auf das Loch zu:[5] [6]
(Für die beiden einleitenden Abbildungen werde v so klein gegen die Lichtgeschwindigkeit c angenommen, dass keine relativistischen Effekte hervortreten.)
Zu einem geeigneten Zeitpunkt t=0 durchquert der Stab parallel das ruhende Loch:
Fall (A): Der Stab bewegt sich parallel auf das ruhende Loch zu.
Vom Bezugssystem des ruhenden Lochs aus betrachtet erscheint der schnell (hier mit ca. v=0.94c) bewegte Stab durch die Längenkontraktion verkürzt auf die Länge L’ < L und passt damit bequem durch das Loch:
Fall (B): Das Loch bewegt sich auf den ruhenden Stab zu
Betrachtet man die Situation allerdings vom mitbewegten System des Stabes aus, so ruht der Stab und das Loch bewegt sich relativ zum Stab mit der hohen Geschwindigkeit v auf den Stab zu: (In der oberen Abbildung bei t<0 wird das Loch noch in der Länge L gezeigt, die es in Ruhe hat, bevor es auf v beschleunigt wird.)
Vom nun als ruhend angesehenen Stab aus betrachtet, der in diesem Ruhesystem die Länge L besitzt, wirkt sich die Längenkontraktion jetzt auf das bewegte Loch aus, das nur noch die Breite L’ < L besitzt, so dass der Stab nicht mehr quer durch das Loch passt:
Das ist aber ein Widerspruch . Die Abmessungen können zwar wechselseitig verkürzt zueinander erscheinen, die Aussage, dass der Stab das Loch passiert, aber kann nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängig gemacht werden; sonst wäre die Relativitätstheorie widersprüchlich und falsch.
Auflösung des Paradoxons:
Berücksichtigt man die transformierte Zeit, bewegen sich Stab und Loch nicht mehr parallel aufeinander zu, die beiden Enden des Stabes durchqueren das Loch zu unterschiedlichen Zeitpunkten, der Stab passt somit durch das Loch. Daraus folgt erstens: Gleichzeitige Ereignisse in einem Inertialsystem laufen in einem anderen unterschiedlich schnell bewegten Inertialsystem nicht ebenfalls gleichzeitig ab, und zweitens sind „parallele“ Geraden im anderen Inertialsystem nicht mehr parallel: Der Winkel zwischen zwei Raumrichtungen wird von zwei sich relativ zueinander bewegenden Beobachtern unterschiedlich gemessen.
Die Argumentation kann auch andersherum durchgeführt werden: Geht man von einem ruhenden Stab aus, auf den sich tatsächlich ein Loch parallel zu bewegt, dann erzeugt die Transformation in das System des ruhenden Lochs (Fall (A)) nun die Verkippung des Stabes (In der vorherigen Darstellung war es genau umgekehrt, dort wurde das Loch verkippt und nicht der Stab). Das Maßstabsparadoxon lässt sich so in jedem Fall widerspruchsfrei im Rahmen der Relativitätstheorie auflösen. (Ende des Zitats).
Sehen wir uns nun an, was es mit der Widerspruchsfreiheit auf sich hat. Wir schneiden aus der ebenen Tafel eine rechteckige Platte heraus, die somit genau in das entstandene Loch passt und führen das Gedankenexperiment analog zu der im Wikipedia geschilderten Weise durch. Wir ergänzen die Anordnung aber oberhalb mit einem über das Loch laufenden unbelichteten Film und postieren unter dem Loch eine Lichtquelle. "Klassisch" sieht das dann so aus:
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Klassisch könnte dieses Maßstabsparadoxon gar nicht funktionieren, denn durch die schräge Komponente der Zueinanderbewegung von Platte und Loch würde die Platte wahrscheinlich nicht durch das Loch kommen, sondern an der Lochkante anstoßen. Zum Glück gibt es aber die SRT. Und wie in der Auflösung bei Wikipedia gezeigt, kippt das Loch aus Sicht des Bezugssystems der herausgeschnittenen Platte nach oben, das Loch ist dabei zwar lorentzkontrahiert, aber die Verkippung des Lochs ermöglicht es der Platte, anstandslos durch das eigentlich nun zu kleine Loch zu kommen. Im Augenblick der Durchquerung deckt die Platte das Loch vollständig ab und der oberhalb laufende Film wird deshalb in diesem Moment nicht belichtet werden; er wird also zuerst eine geschwärzte Strecke aufweisen, danach eine unbelichtete, helle Strecke und danach wieder eine geschwärzte.
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Aus Sicht des Bezugssystems des Lochs sieht das nun ganz anders aus. Jetzt ist die Platte sowohl verkürzt als auch verkippt und freilich wird sie auch jetzt anstandslos durch das nicht kontrahierte Loch kommen. Hurra, das Paradoxon ist gelöst! Ist es das tatsächlich?
Leider nicht:
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Wenn im nichtkontrahierten Bezugssystem des Lochs die nun verkürzte Platte die Durchquerung vornimmt, kommt es nicht zur vollständigen Abschattung des Lochs! Es gibt also keinen Moment, an welchem das Licht von unten nicht durch das Loch käme - und der Film muss nun ein anderes Belichtungsergebnis aufweisen. Er wird nirgends einen Abschnitt aufweisen können, welcher unbelichtet geblieben wäre!
Es ergibt sich deshalb ein unlösbares Paradoxon, weil dieser Film nicht zwei unterschiedliche Belichtungsformen gleichzeitig aufweisen kann. Aber welche gilt denn nun? Hat er eine unbelichtete Strecke zwischen den geschwärzten, oder eine etwas schwächer geschwärzte Strecke zwischen den total geschwärzten???
Wikipedia: "Das Maßstabsparadoxon lässt sich so in jedem Fall widerspruchsfrei im Rahmen der Relativitätstheorie auflösen."
Soso! Ist ja schon eine recht wunderbare Theorie, diese SRT!
Dieses Gedankenexperiment zeigt erstens deutlich, dass schon die reale Kontraktion nach Lorentz unsinnig ist und zweitens die Kontraktion lt. Einstein als "Messeffekt" keine physikalische Auswirkung haben kann, also mit keiner materiellen Veränderung oder Wirkung einhergeht. Das ist natürlich fatal, denn für den Prozess der elektromagnetischen Induktion benötigt man für die SRT-Erklärung eine reale Kontraktion!
Da wird man sich wohl etwas Neues einfallen lassen müssen!
Grüße
Harald Maurer
