Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Hier wird die Relativitätstheorie Einsteins kritisiert oder verteidigt

Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Di 28. Dez 2010, 17:52

Ich habe Software hergestellt, die 2D-Szenarien gemäß SRT in zwei Bezugssystemen S und S' visualisiert, und habe damit einige Szenarien dargestellt.

Die Software zeigt beliebige Szenarien von 2D-Objekten, die im `ruhenden' System S ruhen, sich dort gleichförmig bewegen, oder auch sich dort beschleunigt bewegen. Ein Objekt, ob Kästchen, Kreis, Zahnrad, Photon oder was auch immer, wird i.a. als Punkt oder als Polygonzug dargestellt, dessen Koordinaten [x,y,z] Trajektorien [x(t),y(t),z(t)] sind.

Die Objekte werden auf folgende einfache Weise in das `bewegte' System S' transformiert:

Der Programmierer gibt für einen Punkt dessen Trajektorie

x(t) = ...
y(t) = ...
z(t) = ...

im `ruhenden' System vor. Das Programm errechnet daraus auch die Trajektorie im `bewegten' System:

x'(t') = ...
y'(t') = ...
z'(t') = ...

Die Rechnung erfolgt durch Anwendung der Gleichungen der Lorentz-Transformation:

x'(t) = γ (x(t) - v*t)
y'(t) = y(t)
z'(t) = z(t)
t'(t) = γ (t - v/c² x(t))

Zwecks Darstellung der Transformierten in Abhängigkeit von t' (und nicht t) wird t(t') durch Nullstellenbestimmung ermittelt:

Aus t' - γ (t - v/c² x(t)) = 0 wird t(t') für die benötigen t'-Werte ermittelt.

Damit erhält das Programm:

x'(t') = γ (x(t(t')) - v t(t'))
y'(t') = y(t(t'))
z'(t') = z(t(t'))
t'(t') = γ (t(t') - v/c² x(t(t')))

Auf diese Weise werden auch solche Objekte korrekt transformiert,

  • die sich mit Lichtgeschwindigkeit in bezug auf das `ruhende' System bewegen,
  • die sich in bezug auf das `ruhende' System beschleunigt bewegen.


Zum `Ehrenfest-Paradoxon'

Als Beispiel hier ein Zahnrad, das sich zwischen einer oberen und einer unteren Zahnschiene dreht, wobei die Zahnschienen in positive bzw. negative x-Richtung bewegt sind:

CogWheelAnimation-c661.gif
Zahnrad mit Zahnschienen
CogWheelAnimation-c661.gif (1.62 MiB) 8340-mal betrachtet


Das Bild zeigt folgendes:

  • Das `Ehrenfest-Paradoxon' ist kein Paradoxon. Die widerspruchsfreie Lösung ist dargestellt.
  • Wegen der relativistischen Geschwindigkeitsaddition ist Symmetrie nicht erforderlich (im Gegensatz zu gegenteiligen Auffassungen, die in diesem Forum von Relativisten und Kritikern (auch mir) vertreten wurden.)
  • Es gibt keinerlei Anlass, die Sache in irgendeiner nicht-Euklidischen Raumzeit zu behandeln (im Gegensatz zu gegenteiligen Auffassungen, die in diesem Forum von Relativisten vertreten wurde.).
  • Gemäß SRT fahren auch schnelle Zahnradbahnen (im Gegensatz zu gegenteiligen Auffassungen, die in diesem Forum von Relativisten und Kritikern (auch mir) vertreten wurden).
  • Der Wiki-Artikel `Ehrenfestsches Paradoxon' behauptet, gemäß der Relativitätstheorie könnten keine starren Körper existieren. Das ist, wie man hier zwar leider nicht ablesen kann, falsch. Die Software stellt aber auch ein starres Zahnrad, dessen Winkelgeschwindigkeit variiert, korrekt und widerspruchsfrei dar.


Fazit: Das `Ehrenfest-Paradoxon' ist kein Paradoxon. Es entsteht lediglich dann Verwirrung, wenn man fragt, "Was sieht dieser oder jener Beobachter?" Die korrekte Frage muss immer lauten: "Wie sieht die Sache aus, wenn man sie in diesem oder jenem inertialen Bezugssystem darstellt?"

Stellt man das Zahnrad in einem Bezugsystem dar, das an einem Zahn des Rades fixiert ist, dann handelt es sich nicht um ein inertiales Bezugssystem. Ein Objekt, das in diesem Bezugssystem ruht, ist nicht kräftefrei. Eine solche Betrachtung wäre ebenso kompliziert wie überflüssig. Geht es nicht nur um Kinematik, sondern auch um Dynamik, dann ist eine solche Betrachtung darüberhinaus irreführend, da die Beschreibung dann Scheinkräfte enthält, die es in der Natur nicht gibt.

Gruß
Faber
Zuletzt geändert von Faber am Mi 29. Dez 2010, 03:53, insgesamt 12-mal geändert.
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon galactic32 » Di 28. Dez 2010, 18:06

Faber hat geschrieben:Ich habe Software hergestellt, die 2D-Szenarien gemäß SRT...

Ähm, SRT ist bestenfalls eindimensional.(Ein Beobachter B , ein Beobachter B', ein Ereignis!)

Das System S' hat einen anderen Zeit-Längen-Expansions-Faktor als S .(im Hyper-Raum)

Das heißt mit der Hyper-Zeit t_senkrecht=t_hyper -->t-Parallel wird die parallel-Zeit t' anders rekonstruirt.

Wird da irgendwie was verstanden?

Gruß
galactic32
 
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Di 28. Dez 2010, 18:55

Bitte ggf. die Änderung des Eingangsbeitrags beachten: Der Kommentar zum Wiki-Artikel wurde verbessert und der Kommentar zu Phipps gestrichen.
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Do 13. Jan 2011, 04:25

Die im Eingangsbeitrag gezeigte Animation berücksichtigt nicht die von mir hier beschriebenen Umstände und ist daher falsch. Richtig hingegen ist folgende Animation:


Bild

Die zugrundeliegenden Transformationen sind auf dieser Seite genau beschrieben. Folgende Effekte sind in E und E' zu beobachten:

  • Das Zahnrad wird mit der Zeit größer.
  • Man sieht, wie die Zähne des Zahnrades in E sowie E' nicht nur redlich bemüht sind, die erwarteten Zahnlücken der Zahnstangen zu treffen, sondern das auch schaffen.
  • Das zu Beginn der Animation symmetrische Zahnrad erleidet Thomas-Präzession (s.u.).
  • In tangentialer Richtung ist ein kumulativer Effekt zu sehen.

Der aktuelle Wikipedia-Artikel zum Thema `Ehrenfestsches Paradoxon' weiß:

Wikipedia hat geschrieben:Wesentlich dabei ist die Tatsache, dass die Poincaré-Einstein Synchronisation von Uhren in rotierenden Bezugssystemen nicht auf das ganze System, sondern nur lokal angewandt werden kann
[...]
Die Komplexität des Problems bzw. auch die Unkenntnis der eben erwähnten formalen Lösung, führte im Laufe der Jahrzehnte dazu, dass immer wieder fehlerhafte Erklärungen veröffentlicht wurden. So wurde z.b. von Weinstein (1971) die Hypothese vertreten, dass aufgrund der Thomas-Präzession radiale Linien auf der rotierenden Scheibe verzerrt würden, wobei dieser Effekt kumulativ wäre. Jedoch Whitmire (1972) zeigte, dass ein solcher Effekt (sofern er überhaupt auftritt) sofort durch dabei auftretenden Spannungen ausgeglichen würde und somit nicht messbar sei. Trotzdem führte Phipps 1973 ein Experiment mit einer sich monatelang drehenden Scheibe durch, um Weinsteins Effekt nachzuweisen. Das Ergebnis war jedoch negativ, was in Übereinstimmung mit Whitmires Voraussage ist, und auch Grøn (1975) wies darauf hin, dass das negative Ergebnis vollkommen mit der von ihm entwickelten Kinematik von rotierenden Scheiben übereinstimmt. [7] [11] [12] [13] [14]

Dazu ist anzumerken, dass es keiner Betrachtung in einem rotierenden Bezugssystem bedarf, um die Frage zu beantworten, wie die Darstellung eines rotierenden Rades gemäß SRT in einem inertialen Bezugssystem auszusehen hat. Weinstein und Phipps sehen die Sache ganz richtig. Hier eine etwas übersichtlichere Darstellung mit äquidistanten konzentrischen Kreisen und gleichverteilten Radien:


Bild

Der Umfang des Rades wächst. Die Krümmung der Radien nimmt zu und verschiebt ihr Maximum, das zunächst weit außen liegt, immer weiter in Richtung des Zentrums. Im folgenden Bild dieselbe Szene im Zeitraffer über einen längeren Zeitraum:


Bild

Die variierende lokale Dichte der konzentrischen Kreise zeigt das Maximum der Krümmung der Radien an. Mit dem zunehmenden Umfang wächst die Umfangsgeschwindigkeit bis sie Lichtgeschwindigkeit erreicht, was aber kein Problem darstellt. (Der Gammafaktor hat zwar ein Problem mit v = c, das betrifft aber die Transformation hier nicht, da v die konstante Geschwindigkeit von E' gegenüber E ist, nicht aber die Geschwindigkeit von Körpern in bezug auf E oder E'. Die Beschränkung der Bewegung von Körpern auf c in der SRT ist rein willkürlich. Dazu werde ich noch ausführlich schreiben, sobald ich Zeit dafür habe.)


Fazit: Ich nehme den Eingangsbeitrag (vorsichtshalber komplett) zurück, und bitte um Entschuldigung, soweit er Ärgernis bereitet haben mag.

Gruß
Faber
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Do 13. Jan 2011, 15:48

Ich habe meinen vorangehenden Beitrag geändert, da ich noch einen Fehler in der Software entdeckt habe. Man beachte die neuen Bilder.

Die Zähne des Zahnrades in E sowie E' schaffen es jetzt tatsächlich, die erwarteten Zahnlücken der Zahnstangen zu treffen. Logisch, dass das Zahnrad dazu größer werden muss.

Gruß
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Do 13. Jan 2011, 16:28

Chief hat geschrieben:ein Randpunkt des rollenden Rades beschreibt eine Zykloide, somit muss Gesamtgeschwindigkeit eines Randpunktes über Zykloidengleichung bestimmt werden. Das bedeutet, das Rad als Ganzes (ganz unten) kann keine symmetrische Ellipse sein.

Haben Sie die Zykloidengleichung auch transformiert, um zu diesem Schluss zu kommen?


Chief hat geschrieben:Wie ist Ihre genaue Erklärung für die Verbiegung von Speichen?

Das ist eine sehr gute Frage. Ich versuche mal eine Antwort: Ein infinitesimaler Abschnitt des Umfangs eines Kreises wird in tangentialer Richtung kontrahiert. Die Kontraktion sorgt dafür, dass die Umfangsgeschwindigkeit nicht mehr zur Winkelgeschwindigkeit passt. Die Umfangsgeschwindigkeit ist im Verhältnis zur Winkelgeschwindigkeit zu groß. Nun kann folgendes passieren:

  • Der Umfang des Kreises wächst, wobei die zeitliche Änderung der Richtung des Umfangsgeschwindigkeitsvektors langsamer wird.
  • Die Winkelgeschwindigkeit wächst, wobei die zeitliche Änderung der Richtung des Umfangsgeschwindigkeitsvektors schneller wird.
Eine geeignete Kombination von beiden Effekten sorgt dafür, dass die zeitliche Änderung der Richtung des Umfangsgeschwindigkeitsvektors konstant bleibt.

Beide Effekte sind vom Radius abhängig. Je größer der Radius, desto stärker die Effekte. Daher die wachsende Krümmung der Speichen.

Gruß
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Do 13. Jan 2011, 20:51

Herr Maurer hat es ja immer gesagt. Die Rotation ist mit kumulativen Effekten behaftet.

Gruß
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Fr 14. Jan 2011, 03:57

Chief hat geschrieben:
Faber hat geschrieben:Haben Sie die Zykloidengleichung auch transformiert, um zu diesem Schluss zu kommen?

Ja mit dx/dt und dy/dt - die Relativgeschwindigkeit eines Randpunktes des Rades relativ zur Straße ist oben am höchsten und unten gleich null (unteres Teilbild).

Legen Sie doch bitte die Gleichung selbst, die Vorgehensweise bei der Transformation und das Ergebnis vor, und erklären Sie anhand der Darlegungen, was Sie folgern, damit es den Teilnehmern, Lesern und mir möglich ist, Ihren Gedanken zu folgen.

Gruß
Faber
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Jocelyne Lopez » Sa 5. Feb 2011, 19:15

Faber hat geschrieben:
Zum `Ehrenfest-Paradoxon'

Als Beispiel hier ein Zahnrad, das sich zwischen einer oberen und einer unteren Zahnschiene dreht, wobei die Zahnschienen in positive bzw. negative x-Richtung bewegt sind:

Bild

Das Bild zeigt folgendes:

[*]Das `Ehrenfest-Paradoxon' ist kein Paradoxon. Die widerspruchsfreie Lösung ist dargestellt.

Ich sehe nicht, wie eine widerspruchsfreie Lösung dieses Paradoxons hier dargestellt wird... :(

Ich erinnere, dass in der SRT keine realen, materiellen Verformungen der bewegten Objekten stattfinden.
Ich sehe nicht, dass das rote drehende Rad in der relativistischen Darstellung noch ein Rad sein soll, die Verformungen sind ja unübersehbar... :(

Okay, diese Verformungen existieren zwar virtuell in der SRT (als Meßeffekt), was jedoch bedeutet, dass das Rad in der physikalischen Realität doch ein rundes Rad bleibt, wie in der klassischen Physik. Welche Relevanz hat also die Darstellung von virtuellen, nicht existierenden Verformungen? Wo ist der Sinn der Sache bei den Bemühungen, diese virtuellen Meßeffekte der SRT darzustellen?

Das kommt mir so vor, als ob man sich zum Beispiel um die genaue Beschreibung und Ermittlung der Abmessungen der Halluzination eines Halbverdursteten in der Wüste bemühen würde, der eine Oase mit 4 Palmen sieht. Wozu soll es gut sein?

Viele Grüße
Jocelyne Lopez
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Re: Zum `Ehrenfest-Paradoxon' (Zur Zahnradbahn)

Beitragvon Faber » Sa 5. Feb 2011, 22:19

Das Bild ist, wie ich bereits erklärt hatte, obsolet.

Gruß
Faber
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