Erste Zeile: Zwei Inertialsysteme bewegen sich mit der Geschwindigkeit v aneinander vorbei. Jeder Beobachter in dem einen System misst die Maßstäbe des anderen System um den Faktor k verzerrt. Ob verkürzt oder verlängert spielt erst mal gar keine Rolle. Das wird sich weiter unten aufklären.
Aus (a) wird (2) und aus (b) wird (4).
Aus (a) und (4) wird (3) durch Eliminieren von x.
Aus (b) und (2) wird (1) durch Eliminieren von x'.
Die Gleichungen (1) bis (4) ergeben nun eine Allgemeintransformation.
Aber welche k's ergeben denn nun einen Sinn?
Da lassen wir erst mal ein Photon in S von x=0 hin zu x=ct laufen und schauen, welches c nun in S' gemessen wird. Dazu müssen wir in der Allgemeintransformation (2)/(1) teilen und x=ct setzen.
Zur Probe soll nun ein anderes Photon zu x=-ct laufen. Setzen wir also zusätzlich noch x=-ct in Nenner und Zähler, so kommen oben diese beiden Gleichungen raus.
Und ich hoffe, man kann sofort erkennen: Wenn das Geboxde (in Latex lautet der Code \boxed{}) im Nenner und Zähler identisch ist, dann haben wir auch in S' dasselbe c wie in S.
So ergeben sich nun die nächsten beiden Gleichungen.
Diese in Allgemeintransformation eingesetzt ergeben die Lorentztransformation.
Lässt man beim k unter der Wurzel das Geboxde weg, dann haben wir die Galileitransformation.