So, nun aber mal, gestern habe ich den den Grundstein mit der Berechnung der vier Ereignisse für die Synchronisation von Uhren in zwei zueinander bewegten Systemengelegt. Darauf werde ich hier nun aufbauen. Die da beschriebene Geschichte mit dem Blitz ist Prosa und dient nur dem Verständnis, normal reicht es einfach das Ereignis vorzugeben, an dem man den Ursprung beider zueinander bewegter System S und S' übereinander legt und und dazu noch die Geschwindigkeit zwischen beiden Systemen anzugeben, hier v = 0,866 c.
E₀ [x₀ = 0,00 Ls, t₀ = 0,00 s | x'₀ = 0,00 Ls, t'₀ = 0,00 s]
Im verlinkten Beispiel hatte ich einen Zug mit einer Ruhelänge von 4 Ls und einen Bahnhof von 2 Ls so dass nun der Zug mit beiden Enden gleichzeitig an den Enden des Bahnhofs war, beschrieben aus dem Ruhesystem S des Bahnhofs.
Bei v = 0,866 c ergibt sich der Lorentzfaktor:
Für das Beispiel mit der Reise zum Mond muss ich die Abstände etwas anpassen, die Strecke Erde/Mond beträgt ca. 1,28 Ls und lorentzkontrahiert bei v = 0,866 c eben nur 0,64 Ls. Beginnen wir erstmal mit dem Zug/Bahnhof Beispiel und "schnitzen" und das zurecht. Wir fangen am Bahnhof an, also im System S, der Bahnhof repräsentiert dann in Folge hier die Strecke Erde/Mond, die Erde ist mittig am Bahnhof, der Mond rechts am Ende des Bahnhofs, die linke Seite brauchen wir nicht weiter zu betrachten, also machen wir nun die Strecke Mitte Bahnhof zum rechten Ende mal 1,28 Ls lang.
Der Zug fährt also gerade durch den Bahnhof, der Schaffner mittig im Zug bei x' = 0 Ls stellt seine Uhr auf 0 und der Wärter mittig am Bahnhof bei x = 0 Ls ebenso, beide machen auch noch ein Foto der eigenen Uhr mit der anderen, beide Fotos zeigen beide Uhren mit der Anzeige 0.
Das entspricht mal eben in Prosa der Rakete die an der Erde vorbeifliegt, man kann sich da viele zu ausdenken, das Ereignis ist aber das hier:
E₀ [x₀ = 0,00 Ls, t₀ = 0,00 s | x'₀ = 0,00 Ls, t'₀ = 0,00 s]
Damit es leichter wird zu verstehen machen wir die Rakete nun länger, viel länger, die bekommt eine Spitze die richtig lang ist und vorne drauf ist eine Uhr, die ruht natürlich zur Rakete. Das ist wie beim Zug nun die Lok, die eben vorne am Ende das Bahnhofs ist, gleichzeitig für den Beobachter am Bahnhof mittig am Bahnhof. Noch mal langsam, Am Bahnhof steht bei x₀ = 0,00 Ls ein Wärter mit Uhr t₀ = 0,00 s und ihm gegenüber ist ein Schaffner im Zug bei x'₀ = 0,00 Ls mit seiner Uhr die zeigt t'₀ = 0,00 s an.
Rakete fliegt an Erde vorbei, beide Uhren auf 0 s. Zwei Geschichten, mathematisch gleich beschrieben. Wir haben das eine Ereignis E₀.
Wie die Uhren in beiden Systemen mit einem Blitz synchronisiert werden habe ich gestern im oben verlinkten Beitrag echt ausführlich vorgerechnet und erklärt, das muss einfach verstanden werden. Wenn das nicht richtig verstanden ist, wird man das hier auch nicht begreifen können. Nun weiter, alle Uhren die am Bahnhof in S ruhen zeigen nun dort für jeden dort ruhenden Beobachter gleichzeitig gleiche Zeiten, sie sind synchronisiert, heißt, auch vorne am Ende des Bahnhofs bei x₁ = 1,28 Ls haben wir eine Uhr, die zeigt t₁ = 0,00 s an. Damit haben wir ein weiteres Ereignis am Bahnhof mit Koordinatenwerten in S.
E₁ [x₁ = + 1,28 Ls, t₁ = 0,00 s]
Dieses Ereignis wollen wir nun in S' mit Koordinaten beschreiben, wir wollen wissen, wo ist das im Ruhesystem S' des Zuges und wann ist das im Zug, wo ist die Uhr im Zug und was zeigt sie dort an Zeit an. Dafür braucht man die Lorentztransformation.
x'₁ = γ(x₁ + vt₁) = 2 (+ 1,28 Ls + 0,866 • + 0,00 s) = + 0,256 Ls
t'₁ = γ(t₁ + vx₁) = 2 (+ 0,00 s + 0,866 • + 1,28) = - 2,21703 s
E₁ [x₁ = + 1,28 Ls, t₁ = 0,00 s | x'₁ = + 0,256 Ls, t'₁ = - 2,21703 s]
Was bedeutet das nun?
Die Uhr im Zug vorne bei der Lok zeigt eben nicht 0 s sondern sie geht "nach", um das zu verstehen muss man verstehen, wie die Uhren synchronisiert werden, kann man im Netz nachlesen oder in dem Beitrag von mir gestern, aber egal wo und wie, so schaut es eben nun mal aus. Gestern habe ich alles mehrfach nachgerechnet und bin sehr sicher, dass alle Werte stimmen, heute habe ich schon viel Zeit verbraten und mir kann hier natürlich ein Fehler unterlaufen, wer einen findet soll den nennen, ich freue mich, wenn die Dinge richtig sind und korrigiere den dann natürlich.
Übertragen wir das mal auf das Beispiel Erde/Mond und Rakete, vorne an der Spitze ist die Uhr auf Höhe vom Mond bei x'₁ = + 0,256 Ls und zeigt t'₁ = - 2,21703 s.
Schaut komisch aus, auf den ersten Blick, also mal überlegen, die Rakete hat eine Länger von 2,56 Ls und bewegt sich mit 0,866 c und der Lorentzfaktor beträgt 2, sie ist also nur 1,28 Ls im Ruhesystem S (Erde/Mond) lang, die Rakete fängt bei der Erde bei x₀, x₀' = 0 Ls an, dort ist der Mond bei x₁ = 1,28 Ls, die Uhr auf dem Mond zeigt t₁ = 0,00 s und die Spitze der Rakete mit der Uhr darauf befindet sich bei x'₁ = + 0,256 Ls, eben die Ruhelänge der Rakete. Sollte alles richtig sein.
Nun machen wir die eigentliche Reise, ich beschreibe es zuerst mal mit dem Zug/Bahnhof und dann mit der Rakete/Mond. Wir lassen den Zug nun weiterfahren und wollen, dass der Schaffer mittig im Zug nun zum rechten Ende am Bahnhof fährt und wollen dann wissen, was zeigt die Uhr beim Schaffner an. Aus dem Ruhesystem des Bahnhofs sollte die ja die Dauer für eben diese Fahrt anzeigen und auf der Uhr rechts am Ende des Bahnhofs können wir ablesen, wie lange hat diese Reise am Bahnhof gedauert. Wir kennen den Weg am Bahnhof, eben 1,28 Ls und und die Geschwindigkeit beträgt 0,866 c, damit braucht der Schaffner in der Mitte eben genau 1,47801668913 s.
Damit haben wir das nächste Ereignis:
E₂ [x₂ = + 1,28 Ls, t₂ = 1,478 s]
Rechen wir nun wieder die Koordinatenwerte im Ruhesystem des Zuges aus:
x'₂ = γ(x₂ + vt₂) = 2 (+ 1,28 Ls + 0,866 • + 1,478 s) = + 0,00 Ls
t'₂ = γ(t₂ + vx₂) = 2 (+ 1,478 s + 0,866 • + 1,280 Ls) = + 0,73901 s
E₂ [x₂ = + 1,28 Ls, t₂ = 1,478 s | x'₂ = + 0,00 Ls, t'₂ = + 0,73901 s]
Schaut gut aus, x'₂ = + 0,00 Ls ist eben die Mitte des Zuges (oder der Anfang der Rakete) und die Uhr mittig im Zug (oder in der Rakete) zeigt nun t'₂ = + 0,73901 s an. Der Wärter am Ende des Bahnhofs und der auf dem Mond jubelt und erklärt, damit wäre ja nun eindeutig belegt, die Uhr im Zug (oder der Rakete) ging langsamer als die am Bahnhof (oder auf der Erde und dem Mond). Denn die am Ende des Bahnhofs zeigt ja nun t₂ = 1,478 s an und die im Zug nur 0,73901 s.
Und nun? Nun hören wir uns mal an, was der Wärter im Zug so dazu meint, wie er die Dinge "sieht". Für ihn ist der Bahnhof nämlich lorentzkontrahiert, oder die Strecke Erde/Mond, der steht also bei t₀' = 0,00 s mittig bei x₀' = 0,00 Ls mittig im Zug und weiß, das Ende des Bahnhofs ist für ihn bei t'₃ = 0,00 s und x'₃ = 0,64 Ls. So, das ist nun echt wichtig und leider kann man es mit dem Bahnhof/Zug Beispiel viel einfacher verstehen, als mit Erde/Mond und Rakete.
E₃ [x'₃ = + 0,64 Ls, t'₃ = 0,00 s]
Darum erkläre ich es noch einmal, die "Reise" ist vom Bahnhof aus beschrieben, die von der Zugmitte zum rechten Ende des Bahnhofs. Aus dem Ruhesystem des Zuges hingegen soll ja das Endes des Bahnhofs eben von der Lok die Hälfte des Zuges entlang fahren und dann bei der Mitte des Zuges ankommen. Und nochmal, für den Beobachter am Bahnhof befindet sich bei t = 0 s die Lok genau am rechten Ende des Bahnhofs bei x = 1,28 Ls, dort steht ein Wärter und schaut auf die Uhr und sagt, ja meine Uhr zeigt genau t = 0 s an, und ich warte jetzt hier bis der Schaffner in der Mitte des Zuges bei mir ist und schaue wieder auf die Uhr. Wichtig, die Reise beginnt mit dem Ereignis, Lok und rechtes Ende des Bahnhofs treffen aufeinander. Und die Reise endet mit dem Ereignis, Zugmitte trifft auf rechtes Ende vom Bahnhof.
Es ist hier wirklich ausschlaggebend für das richtige Verständnis diese beiden Ereignisse klar vor Augen zu haben.
Wir haben ja schon das Ereignis berechnet, wo Lok und rechtes Ende vom Bahnhof "gleichzeitig" an einem Ort zusammentreffen:
E₁ [x₁ = + 1,28 Ls, t₁ = 0,00 s | x'₁ = + 0,256 Ls, t'₁ = - 2,21703 s]
Und hier in Rot hervorgehoben der entscheidende Punkt, im Ruhesystem S' fand dieses Ereignis eben nicht bei t' = 0 s statt, sondern schon 2,21703 s früher, eben bei t'₁ = - 2,21703 s. Für den Schaffner in der Lok kommt also das rechte Ende vom Bahnhof bei
t'₁ = - 2,21703 s vorbei, da beginnt also im Ruhesystem die Reise und sie dauert bis t'₂ = + 0,73901 s also 2,956 s. Kann sein, dass ich hier zu wenig Stellen beim Rechnen genommen habe. Wie dem aber auch sei, der im Zug sagt, die Fahrt hat 2,956 s gedauert, auf der Uhr am Bahnhof sind aber nur 1,478 s vergangen, die Uhr am Bahnhof ging also langsamer.
Das rechte Ende des Bahnhofs bei t' = 0 im Zug:
E₃ [x'₃ = + 0,64 Ls, t'₃ = 0,00 s | x₃ = + 1,28 Ls, t₃ = 1,478 s]
So, nun gut, echt spät, meine Konzentration ist nun auch echt runter, kann auch gut sein, dass ich hier was falsch gerechnet habe, aber vom Prinzip sollte es richtig sein. Mir gefällt es so noch nicht, ich müsste es noch mal zusammenfassen, ein Resümee schreiben, alle Ereignisse noch mal zusammenschreiben. Aber nicht mehr jetzt. Für den Anfang soll das erstmal reichen, ich führe es aber noch weiter aus. Wichtig ist einfach zu begreifen, die Beobachter sind sich nicht einig darüber, wo wann wie die Reise nun begonnen hat, dennoch können sie natürlich gegenseitig ihre Uhren fotografieren, keine Uhr zeigt hier "gleichzeitig" für jeden Beobachter andere Werte an. Man kann das ganz eindeutig mit Ereignissen in beiden Systemen beschreiben und berechnen, aber um das dann auch noch in ein einfaches anschauliches Beispiel in Prosa zu schrauben braucht es schon etwas an Zeit zum Grübeln. Wie dem auch sei, ich wollte es einfach schon mal heute noch angefangen haben.
Das ist der Weg ...